सर्वांना नमस्कार, सरासरी दुसर्या व्हिडिओमध्ये परत आपले
स्वागत आहे
शेवटच्या सरासरी व्हिडिओत, आम्ही सरासरीची मूलभूत माहिती
शिकलो आहोत आणि त्याशिवाय आम्ही थोडे प्रश्न आणि प्रकार सोडले
आहेत जसे की व्यक्ती गटात सामील होतो, गटातून बाहेर पडतो
किंवा गटात नवीन व्यक्ती जोडतो.
आज आम्ही सरासरीची संकल्पना करणार आहोत, अर्थात संख्यांवर
सरासरी कसे गणावी म्हणजे जर आपल्याकडे एकाच प्रकारच्या
संख्यांची एक श्रृंखला असेल तर त्यातून सरासरी कसे गणावी हे
आम्ही शिकणार आहोत.
सगळ्यात सुरुवातीला आपण शेवटच्या वर्गाच्या सरासरीची व्याख्या
लक्षात ठेवावी की, सरासरी हे म्हणजे सर्व निरीक्षणांचे एकूण
योग निरीक्षणांच्या एकूण संख्येवर भाग आहे.
आता जर मी तुमच्या समोर एवढे सरासरीचे सूत्र लिहिले तर ते
सरासरी निरीक्षणांच्या एकूण संख्येच्या बरोबरीने असते
ज्याच्यामध्ये एस एकूण योग दर्शवितो आणि एन एकूण निरीक्षणांची
संख्या दर्शवितो.
समजा आपल्याला एका प्रश्नात सरासरी दिली गेली आहे
सरासरी दिली जाते आणि एन दिले जाते
आपल्याला योग मोजण्यासाठी योग ाची आवश्यकता आहे
त्यामुळे आपण या सूत्राची मदत घेऊ शकतो
आपण हिशोब कसा करणार?
एकूण निरीक्षणांच्या संख्येत बेरीज ही आमची सरासरी असेल
तर याच्या मदतीने आपण योगाची गणना करू शकतो
आता तुम्ही पुढे जाऊन सीक्वेंस आणि सीरिज वाचणार आहात
तर मालिकेत आपल्याला आढळेल की आपण संख्यांची बेरीज करतो
आधी आपण त्यांना क्रमाने लिहितो आणि मग संख्यांची बेरीज करतो
आता तुम्ही पुढे जाऊन अंकगणिताची प्रगती पाहाल
त्यातही आपल्याला योगाचे सूत्र सापडते
तर आज आपण फॉर्म्युला पाहू
ते कसे व्युत्पन्न होते आणि कसे नाही
ते आम्ही त्या वर्गांसाठी सोडणार आहोत
आज आपण फक्त योगाचे सूत्र लक्षात ठेवू आणि सरासरीच्या सूत्रात
लागू करू
बस एवढेच
चला तर मग पाहूया यासंबंधी
आत्तापर्यंत आम्ही जे केले ते म्हणजे
आमच्याकडे डेटाचा एक संच होता आणि आम्हाला निरीक्षणांची
संख्या दिली गेली
चला मानूसकी समजू की आपणास काही डेटा दिलेले आहे आणि त्यात
काही निरीक्षणांची पुनरावृत्ती आहे.
उदाहरणार्थ, एका निरीक्षणाची 5 वेळा आणि दुसर्‍याची 7 वेळा
आणि काही निरीक्षणे 10 वेळा पुनरावृत्ती केली जातात.
तर तुम्ही त्यांना जोडून जोडणार का?
नाही, आता आपण काय करणार?
जसे आपल्याकडे हे आहे
आम्हाला 4 प्लस 4 प्लस 4 प्लस पर्यंत शोधावे लागेल
आपल्याला किती वेळा 4 जोडावे लागेल? २० वेळा
तर तुम्ही एक-एक करून कराल 4 प्लस 4 म्हणजे 8 आणि मग प्लस 4
म्हणजे 12
तुम्ही थेट काय कराल?
आपण थेट 4 ते 20 कराल
मग या सर्वांची बेरीज देईल
ते काय असेल? 80
त्याचप्रमाणे ४ २० वेळा जोडल्यास
तरीही ८० येतात
पण काय झालं?
ते सोयीचे झाले आहे
यामुळे आमचा वेळ वाचला आहे
त्यामुळे मी तुम्हाला यासंबंधीचा एखादा विषय दिला तर
समजा आपल्याकडे निरीक्षणांचा एक संच आहे
ए 1, ए 2, ए 3 इ. पर्यंत जाऊ द्या
म्हणजे एएन मध्ये जोडा
आता यात काही निरीक्षण असेल तर मी ते पुढे नेईन
एएन, ए 1, ए 1, ए 1
त्याचप्रमाणे आपल्याकडे किती आहेत? 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 वेळा ए
1 घ्या आणि ए 3 वेळा ए 3 घ्या
हेही एक निरीक्षण आहे आणि भविष्यात आणखी कोणी तरी त्याची
पुनरावृत्ती करू शकेल
उदाहरणार्थ, ए 6 ची 3 वेळा पुनरावृत्ती केली गेली आहे 1 येथे
1, 2, 3 आहे
तर त्याची पुनरावृत्ती 3 वेळा झाली आहे
मग या सर्वांची सरासरी कशी शोधणार?
त्यांची सरासरी असेल
त्यांची सरासरी किती असेल?
त्याची पुनरावृत्ती किती वेळा होते?
म्हणजे त्याची पुनरावृत्ती किती वेळा होते?
याला आपण काय म्हणू?
त्याची वारंवारता किती आहे?
त्याची पुनरावृत्ती किती वेळा होते?
तर त्याचे नाव फ्रिक्वेन्सी असे आहे
उदाहरणार्थ, ए 1
ए 1 आपल्याकडे किती वेळा येत आहे? 1, 2, 3, 4, 5, 6
6 वेळा येत आहे
मग त्याची वारंवारता किती आहे?
ए 1 ची वारंवारता
हे काय आहे?
६ आहे
म्हणजे फ्रिक्वेन्सी म्हणजे काहीच नाही
त्याची किती वेळा पुनरावृत्ती होते हे च सांगते
तर ए 1 ची फ्रिक्वेन्सी 6 पट आहे
समजा
आम्ही ते एफ 1 म्हणून दिले आहे
आम्ही त्याला एफ 1 म्हणून दर्शविले आहे
एफ 1 म्हणजे ए 1 ची वारंवारता
त्याचप्रमाणे ए 2 ची वारंवारता किती आहे?
ए 2 फक्त एकदाच येत आहे
तर ए 2 ची वारंवारता किती आहे? 1 आपण ए 2 ची वारंवारता कशी
दर्शवू शकतो?
आम्ही त्याला एफ 2 म्हणून दर्शवितो
एफ 2 म्हणजे 1
आता ए 3 ची पुनरावृत्ती किती वेळा केली जाते?
याची 4 वेळा पुनरावृत्ती केली जाते
तर एफ 3 म्हणजे 3 ची फ्रिक्वेन्सी 4 आहे
त्याचप्रमाणे, आपण सर्वांची वारंवारता दर्शवू
समजा आपल्याकडे हे एन पर्यंत आहे
मग एन साठी आपल्याला काय करावे लागेल?
प्रत्येक वैयक्तिक प्रवेशासाठी
निरीक्षण म्हणजे एन निरीक्षणांसाठी
आपल्याला वेगवेगळ्या फ्रिक्वेन्सी पाहाव्या लागतात
कितीवेळा त्याची पुनरावृत्ती होते
या सर्वांची पुनरावृत्ती होणार आहे
त्यातील काहींची पुनरावृत्ती झाल्यास
म्हणून आपण त्यांना सूचित केले पाहिजे
इतरांची वारंवारता किती असेल?
1 असेल
मग सरासरी किती असेल?
आपल्याला वारंवारता गुणाकार करावी लागेल
जसे आम्ही ४ बाय २० केले
की त्यात किती वेळा भर घातली जाते
त्याचप्रमाणे, आपल्याला ए 1 ची सरासरी शोधावी लागेल
आम्हाला रक्कम शोधावी लागेल
हे 6 पट जास्त असेल
त्यामुळे ६ वेळा लिहिण्याऐवजी जोडा
म्हणजे ए 1 प्लस ए 1 प्लस ए 1 प्लस ए 1
६ वेळा लिहिण्याऐवजी
तुम्ही काय लिहू शकता?
आपण थेट 6 x A1 लिहू शकता
तर आपण हे लिहू
6 म्हणजे काय?
ही ए 1 ची वारंवारता आहे
तर आम्ही ते एफ 1 एक्स ए 1 म्हणून लिहू
प्लस एफ 2 एक्स ए 2
म्हणजे ए 2 ची वारंवारता जोडा
हे किती दिवस चालणार?
एफएन एक्स एन पर्यंत
एफएन एक्स एन
आमची शेवटची टर्म काहीही असो.
तिथपर्यंत
आमचं शेवटचं निरीक्षण काहीही असो
आणि आपण विभागणी कशी करणार?
निरीक्षणांची एकूण संख्या किती आहे
एकूण निरीक्षणांची संख्या
मग एकूण निरीक्षणांची संख्या कशी जोडणार?
एकूण निरीक्षणांची संख्या
तुम्ही कसे जोडणार?
तुम्ही त्यांची गणना करा
आमच्याकडे एन
त्याचे डिनोटेशन केले जाणार आहे
आम्ही ते एन
त्यामुळे जेव्हा आपल्याकडे कोणतेही निरीक्षण असते
त्याची पुनरावृत्ती किती वेळा होत आहे?
हे एका विशिष्ट वारंवारतेसह आहे
त्यामुळे आम्ही त्यात सरासरी टाकू
हे सूत्र
सरासरीचे हे सूत्र
वारंवारतेची बेरीज
फ्रिक्वेन्सी एक्स निरीक्षण
आणि संपूर्ण रक्कम अशी विभागली जाते
एकूण निरीक्षणांची संख्या
दुसरं म्हणजे आपण पुढे जाऊ.
विषय असा आहे
नैसर्गिक संख्येशी संबंधित
नैसर्गिक संख्येच्या मालिकेशी संबंधित
समजा
तुम्ही पुढे जाऊन वाचाल.
जे आपल्याकडे आहे
पहिल्या आणि नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती आहे?
पहिली आणि नैसर्गिक संख्या
आपल्याकडे काय असेल? n नैसर्गिक संख्या
जर आपण काही मर्यादित एन दिले असेल तर
मग त्यापर्यंतची नैसर्गिक संख्या
समजा आपल्याला पहिली १५ नैसर्गिक संख्या सांगितली जाते
मग एन चे मूल्य काय असेल? 15 म्हणून आपल्याला योग घ्यावा
लागेल.
नैसर्गिक संख्या १ ते १५ पर्यंत
तर पहिली आणि नैसर्गिक संख्या
काय आहे हा नवा विषय?
प्रथम आणि नैसर्गिक प्रथम आणि नैसर्गिक संख्येची सरासरी
प्रथम आणि सलग हे सलग असेल कारण आपण पहिल्या n बद्दल बोलत आहोत
किंवा सलग एन नैसर्गिक संख्या
एक आणि एकच गोष्ट
तर आधी
किती असेल रक्कम?
सर्वप्रथम आपल्याला प्रथम n नैसर्गिक संख्या योगाची बेरीज
घ्यावी लागेल
एकूण संख्या
संख्या किती आहे?
1 ते एन
एकूण निरीक्षणांची संख्या
आमच्याकडे एन
एन
योगाचे सूत्र[संपादन]
पहिली n नैसर्गिक संख्या
किती असेल रक्कम? 1 प्लस 2 प्लस 3 प्लस 4 प्लस 5
n पर्यंत ही बेरीज आहे
या एन प्लस १ चे सूत्र
2 ने विभागलेले
हे आहे सूत्र
पहिल्या n नैसर्गिक संख्येची बेरीज
हे आहे सूत्र
जर आपण सरासरीचे सूत्र ठेवले तर
जर विभाजनात एन असेल तर
मग एक एन रद्द होईल
त्यामुळे आम्हाला एन प्लस १ मिळणार आहे
2 ने विभागलेले
असे असेल
पहिल्या n नैसर्गिक संख्येची सरासरी
हे एन प्लस 1 असेल
2 ने विभागलेले
त्याचप्रमाणे पहिली एन नैसर्गिक संख्या
हे सलग आहे
आपण मिळवू शकता
अगदी सलग आकडे
विचित्र सलग आकडे
आता आम्ही करत आहोत
नैसर्गिक संख्या
किती असेल रक्कम?
दुसरा चौरस
क्यूब हे खूप सामान्य आहेत
परिणाम आपल्याला लक्षात ठेवावे लागतील
सिरीजमध्ये आपण पहिल्या आणि प्राकृतिक संख्यांची एकूण जमा,
विषम अंशांची एकूण जमा, सम अंशांची एकूण जमा आसानीने करू शकता.
तर, याच्या मदतीने आपण सहजपणे सरासरीमोजणी करू शकाल.
आता पाहा, पुढील काय होणार आहे, हा तुमचा पहिला प्रसंग आहे
ज्यामध्ये पहिल्या आणि प्राकृतिक संख्यांची औसत होती.
दुसरा पाहा, दुसरा जर आम्हाला त्यांच्या चौरसांची औसत शोधायची
असेल तर, पहिल्या आणि नैसर्गिक संख्यांच्या चौरसांच्या एकूण
वर्गांची बेरीज शोधावी लागेल.
तर, आता बघूया, १चा चौरस + २चा चौरस + ३चा चौरस + ४चा चौरस +
n च्या स्क्वेअरपर्यंतची एव्हरेज शोधणे आहे.
त्यांची बेरीज आपल्याकडे आहे, त्यांची बेरीज आपल्याकडे एन, एन
प्लस १, एन आहे
प्लस 1 2 ने विभागलेला, 6 सॉरीने विभागलेला, हे 6 ने विभागले
जाईल.
ही असेल रक्कम
चौरसांच्या मालिकेचे.
आता, जर आम्ही हे औसत गणना करतो तर, त्याची औसत काय असेल,
त्याची औसत एन ने विभागलेली बेरीज असेल, तर एन एन रद्द होईल.
तर, आपल्याकडे काय परिणाम होईल, एन प्लस 1, 2 एन प्लस 1 6 ने
विभागला जाईल.
यात आपण पहिल्या आणि नैसर्गिक संख्यांच्या सलग चौरसांची एक
समूह जोडला जाईल.
आता, आम्ही घन पाहू, आणि त्याच्याशी समान घनाची एकूण जमा
नैसर्गिक संख्यांच्या एकूण जमा सारखी आहे.
घनाच्या बेरीजप्रमाणे, त्यांची बेरीज किती होती, एन, एन प्लस
1 2 ने विभागली गेली.
घन मालिकेची बेरीज किती असेल, त्याचा संपूर्ण चौरस घन
मालिकेची बेरीज असेल.
तर, याच्या मदतीने आपण सरासरी मोजणार आहोत.
आता तुम्ही तिसऱ्या पॉइंटवर लिहा, तो तीसरा पॉइंट काय आहे,
आम्ही जर घन शोधायचे असेल तर तो म्हणजे १ क्यूब, २ क्यूब प्लस
३ क्यूब प्लस एन क्यूब पर्यंत.
आणि त्यांची एकत्रित जमा n, n प्लस 1 विभाजित 2 संपूर्ण चौरस
असेल, असे असेल नाही तर एन स्क्वेअर, एन प्लस 1 स्क्वेअर 4 वर
असेल.
तर, हा त्यांच्या एकूण योग आहे, त्यांची सरासरी काय असेल,
सरासरी असेल n square, n plus 1 संपूर्ण चौरस विभाजित आणि
सरासरी काय असेल, एन वर असलेल्या बेरीज असल्याने, एन ने
विभाजित करा, एन ने एन बरोबर काढून टाकले जातील, हा तुमच्या
सरासरीचा उत्तर असेल.
सरासरी एन, एन प्लस 1 संपूर्ण चौरस 4 ने विभागली जाईल.
पुढे पुढे जाऊन आपण काय करणार, हा कोणता आकडा आहे, ३, चौथा
क्रमांक, आपल्याकडे १ प्लस २ प्लस ३, एन सलग नैसर्गिक संख्या
आहेत, समजा सम संख्या शोधायची आहे, म्हणजे २ प्लस ४ प्लस ६
प्लस ८ प्लस टू एन, आपण काय लिहिणार, आम्ही लिहिणार नाही
या प्रकरणात एन हा अर्थ आहे की एन कोणत्याही प्रकारचा असू
शकतो, सम किंवा विषम, परंतु विशेषतः आम्हाला सांगण्यात आले
आहे की आम्ही सम संख्यांची मालिका शोधत आहोत.
तर, सम संख्येचे वैशिष्ट्य काय आहे, सम संख्या नेहमीच 2 ची
गुणाकार असते.
तर, सम संख्या दर्शविण्यासाठी, आम्ही 2n लिहू, म्हणजे शेवटची
संख्या 2 ची गुणाकार असावी, म्हणून आम्ही त्याला 2n द्वारे
दर्शवू.
तर, त्यांची बेरीज एन, एन प्लस 1 असेल.
जर आम्ही पाचव्या गोष्टीचे उदाहरण घेतले तर, ते लक्षात ठेवणे
सोपे असेल आणि कोणते पर्याय उपलब्ध आहेत हे समजून घेण्यासाठी
मी त्यांच्या एकत्रित लिहित आहे.
तर, विषम संख्या आणि सम संख्यांची एकमेकांवर जोड किती असते,
त्याचप्रमाणे आपण विषम संख्या देखील असू शकतो, विषम संख्या
काय असतील ते काय असतील, विषम संख्या 1 प्लस 3 प्लस 5 पर्यंत
असतील, ती किती दूर जातील, सम संख्या 2 एन ने आम्ही दिलेल्या
उदाहरणात दर्शविले आहे, म्हणून जर त्यापैकी एकाच अधिक असेल
तर...
कमी, मग आम्हाला काय मिळणार, विचित्र नंबर मिळेल.
तर, आम्ही त्याचे शेवटचे 2 एन उणे 1 ने दर्शवू.
विचित्र आकड्यांची ही मालिका आहे.
त्यांची बेरीज किती आहे, त्यांची बेरीज एन स्क्वेअर आहे,
त्यांची बेरीज एन स्क्वेअर आहे.
आता, जेव्हा दोन्हीच्या एकत्रीत जमा येते तेव्हा, त्यांच्या
सरासरीची किती असेल ते काय होईल, जोडलेल्या एकाच्या सरासरीची
किती असेल ते काय होईल, ती एन प्लस १ बाय २ असेल, एन ने एन
कॅन्सल होईल, सॉरी, २ येणार नाही, कारण एन एन मधून कॅन्सल
होईल, २ आहे.
आता त्याची सरासरी n+2 असेल आणि विषम एकाची सरासरी n असेल, जो
n विभाजित केलेले नाही, तो n सारखे असेल.
तर, ही विषम ची सरासरी आहे आणि ही सम एकाची सरासरी आहे.
आणखी, त्यांच्या चौरस आणि घनाच्या बेरीज संचय कसे होतात हे
तुम्हाला दिसेल, आणि त्यांच्या एकाच शिर्षकात संचय कसे करायचे
हे आम्ही शिकणार आहोत, कारण इतके सूत्र जाणून घेणे अर्थशून्य
आहे, ते कसे आले हे जाणून नसल्यास तुम्हाला फायदा नाही,
त्यामुळे आता मी तुम्हाला लिहायला देत आहे, पण...
काही काळानंतर काय कराल, विसरून जाल, फॉर्म्युला कधीपर्यंत
लक्षात राहील, हे बेसिक आहे, एवढं लक्षात ठेवायला हवं, योगाशी
संबंधित सूत्र, म्हणूनच मी तुला हे करायला लावलं. आता पुढे
जाऊन आपण काय करणार, कोणता आकडा होता
हा, हा पाचवा नंबर होता, तुमचा सहाय्यक क्रमांक असेल ते
म्हणून, चला मानूस आपण एन अवलोकनांची आणि म अवलोकनांची आणि एम
अवलोकनांची संख्या आहेत, ज्यांची सरासरी अ आहे आणि ज्यांची
सरासरी ब आहे, आणि आपल्याकडे एन अवलोकनांची आहेत ज्यांची
सरासरी अ आहे आणि एम अवलोकनांची आहेत ज्यांची सरासरी ब आहे.
बी आहे.
तर, आपण शोधायला आहोत, एकूण निरीक्षणांची एकूण सरासरी, एकूण
निरीक्षणांची सरासरी, एकूण एन आणि एम ची सरासरी, एकूण एन प्लस
एम निरीक्षणे, म्हणजे एन निरीक्षणांच्या संख्येच्या निम्मी,
आम्ही काही विशिष्ट सरासरी दिली आहेत आणि इतर.
इतरांची सरासरी, म्हणून जर आपण या दोन निरीक्षणांच्या संचाची
एकूण सरासरी शोधायची असेल तर काय होईल, आपण काहीही करण्याची
गरज नाही, पहिले एन गुणांची गुणण करा, त्यानंतर एन वर गुणण
करा, तसेच बरोबर एम वर गुणण करा, तसेच एम बी एकूण
निरीक्षणांच्या संख्येने भाग करा.
पूर्वी ते काय होते, एन साठी एन, एम फॉर एम, या दोघांची बेरीज
किती असेल, या दोघांची बेरीज एकूण निरीक्षणांच्या संख्येने
विभागली गेली आहे, म्हणजे एन प्लस एम, म्हणून हे या प्रकरणाशी
संबंधित असेल, जेव्हा आपल्याकडे सरासरीचा सेट आहे, म्हणजे
काही निरीक्षणे आहेत
सरासरींच्या वेगवेगळ्या अंदाजांमध्ये थोड्याशा वेगळ्या
असलेल्या काही अंदाजांची एकत्रित सरासरी काय असेल, हे त्याचा
सूत्र आहे. हा सूत्र बघण्याच्या सोबतच काही प्रश्न आहेत.
तुमचे काय प्रश्न आहेत, पहिलं प्रश्न बघूया. हे तुमचा प्रश्न
आहे.
अगदी ११ संख्यांची सरासरी ६३ आहे, पण आता जर आपल्याकडे
पहिल्या ६ संख्यांची सरासरी ६० आहे तर आपल्याकडे एकूण ११
संख्या आहेत. त्यांची सरासरी काय आहे हे आपण जाणून घेऊ शकता.
आपल्याकडे n असे एक नंबर आहे जो आतापर्यंत ची एकूण संख्या
दर्शविते, त्याचे मूल्य ११ आहे.
औसत, त्यांच्या औसताची मूल्ये 63 आहेत, पहिल्या 6 संख्यांची
औसत मूल्य 60 आहे, आपण 11 संख्या असल्यास, आपण त्यांना या
प्रकारे दर्शवू शकता, एका, एका 2, एका 3, एका 4, एका 5, एका
6, एका 7, एका 8, एका 9, एका 10, एका 11,
ए १० आणि ए ११, ही तुमची ११ निरीक्षणे आहेत, या सर्वांची
सरासरी ६३ आहे.
पुढची ओळ म्हणजे पहिल्या सहा आकड्यांची सरासरी.
पहिल्या सहा आकड्यांचा अर्थ अ१, अ२, अ३, अ४, अ५, अ६ असा होतो.
सुरुवातीचे सहा आकडे, त्यांची सरासरी किती आहे? त्यांची
सरासरी आपण ए १ वरून दर्शवूया.
त्यांची सरासरी ६० अशी दिली आहे.
त्यांची सरासरी एन साठी ६० म्हणजे ६ म्हणजे सहा निरीक्षणे
सुरू करणे अशी दिलेली आहे.
त्यानंतर शेवटचे सहा आकडे ६५ आहेत.
म्हणजे शेवटचे सहा, शेवटचे सहा आकडे ही निरीक्षणे आहेत.
त्यांची सरासरी किती आहे? त्यांची सरासरी ६५ इतकी आहे.
त्यांची सरासरी १, २, ३, ४, ५, ६ आहे.
आता, एका ६ ते ११ च्या निरीक्षणांची सरासरी एका २ मध्ये
दर्शविली जाते आणि ती ६५ आहे.
आणि हे कितीसाठी आहे? हे सहा निरीक्षणांची सरासरी आहे म्हणून
n ६ आहे.
मग आपल्याला काय शोधावे लागेल? आपल्याला सहावा क्रमांक शोधावा
लागेल.
तर सर्वात आधी, पहा की कोणता आहे षष्ठ क्रमांक? आम्हाला ए६
म्हणून षष्ठ क्रमांक मिळत आहे.
ए 6 ही आवश्यक संख्या आहे जी आपल्याला शोधावी लागेल.
त्याचे मूल्य काय असेल?
तर, व्हिडिओ थांबवा आणि विचार करा की आपण हा प्रश्न कसा कराल.
तुम्ही ते कॉपीमध्ये लिहून बघा आणि माझ्याशी तुमच्या पद्धतीने
किंवा शॉर्ट मेथडने करत असाल ते जुळवू नका.
ते तुलनेने कसे आहे? ती लांबलचक आहे की छोटी? मग तुम्हाला
उत्तर बरोबर आहे हे दिसेल.
तर, उपाय काय असेल? उपाय हा असेल की त्यांच्या औसताची
घेण्याची आहे जो आहे एक प्लस एक प्लस एक प्लस एक प्लस एक प्लस
एक ते एक पर्यंत.
त्यामुळे आम्हाला सरासरी ६० आणि आधीची सरासरी ६५ मिळत आहे.
त्यामुळे जर आम्हाला एकूण सरासरी दिली तर.
एकूण सरासरीत जर आम्हाला या दोन्हीच्या सरासरी मिळाली जातील
तर काय होईल? एक ते छह आहेत आणि दुसरा ते छह आहेत.
तर, आम्ही त्यांना जोडतो.
जर आपण या दोन्हीच्या सरासरी घेत असताना, त्यांच्यात सामान्य
भाग काय आहे? या दोन्हीत एकाच भाग असलेले ए6 पुन्हा एकदा आणले
जाते.
जर आपण असे केले तर ते एकूण सरासरीसारखे आहे.
हे या दोघांच्या फॉर्म्युलेशन्सपासून बनलेले आहे.
पण या दोघांमध्ये काय घडतंय? त्या दोघांमध्ये एका क्रमांकाची
पुनरावृत्ती केली जाते.
त्यामुळे त्याची दोनवेळा पुनरावृत्ती करता येणार नाही.
मग त्याचा परिणाम आपल्या सरासरीवर होईल.
त्याची पुनरावृत्ती एकदाच करावी.
मग आम्ही काय करू? आम्हाला शोधायचे असलेल्या ए 6 चे काय होईल?
पहिलं, आम्ही या दोन सरासरींच्या एकत्रित जमलेल्या एकूणाची
घेऊ.
त्यामुळे एकूण किती निरीक्षणे आपल्याला मिळतील? ११ निरीक्षणे
प्लस ए ६.
त्याची दोनवेळा पुनरावृत्ती होते.
तर, ही १२ निरीक्षणांची बेरीज आहे.
जर आपण एकूण औसत कमी केल्यास, तर आम्ही शिल्लक आणलेल्या ए6 ला
वजा केल्यास शिल्लक बाकी राहील.
डावीकडे। मग आम्ही काय करणार? सर्वप्रथम आपण रक्कम घेऊ.
आपण ही रक्कम का घेत आहोत?
कारण आम्ही सरासरी ए १ दिली आहे.
मग, पहिल्या सहा आकड्यांमधून आपण काय काढणार?
आम्ही रक्कम काढू.
तर, पहिल्या सहा संख्यांची बेरीज, त्याला एस 1 सह दर्शवा.
ते काय होईल? आम्ही कोणता फॉर्म्युला वाचला? सरासरी एन वरील
बेरीजइतकी आहे.
मग ते काय होईल? सरासरी एन मध्ये.
तर, ए 1 60 आहे आणि एन 6 आहे.
पहिले सहा आकडे.
तर, ते 60 ते 6 होते.
म्हणजे ३६०.
त्याचप्रमाणे आपण काय करणार? आम्ही एस २ काढू.
शेवटच्या सहा आकड्यांची बेरीज.
ते काय होईल? ए 2 ते एन.
म्हणजे ए२ ते ६.
कारण आमच्याकडे ६ आहेत.
तर, 65 ते 6.
ते काय होईल? 390.
तर, आपल्याकडे पहिल्या सहा निरीक्षणांची आणि शेवटच्या सहा
निरीक्षणांची बेरीज आहे.
आता जर आम्ही एकूण करून पहिल्या आठ अंदाजांची एकूण जमा घेतली
तर पहिल्यात ए ६ येणार आहे आणि दुसऱ्यात ए ६ येणार आहे हे
पाहू.
ते दोन्हीमध्ये येत आहे.
तर, आम्हाला ते 1 मधून वजा करावे लागेल.
आता पाहूया, तर किती एकूण आहे? जर आम्ही s1 व s2 जोडतो तर
एकूण किती येईल? हे एका 1 ते 11 पर्यंत येतील.
शिवाय, ए 6 काय होईल? ए 6 अतिरिक्त होईल.
मग हे काय होणार? ए 1 प्लस ए 2 प्लस ए 11 प्लस ए 6.
कारण ए ६ दोनदा येत आहे.
एस 1 प्लस एस 2 म्हणजे काय? आमच्याकडे हे आहे.
आता, आम्हाला करावे लागेल
ए 6 चे मूल्य वजा करा.
जर आपण त्यांचे मूल्य ठेवले तर ए 6 चे मूल्य येईल.
आपण एस 1 प्लस एस 2 चे मूल्य वजा करू शकतो.
हे काय होईल? ते सोडवा.
आपल्याला किती मिळणार? 750.
एस 1 प्लस एस 2 येईल.
आमच्याकडे 0, 5, 1 असेल.
हे 750 आहे.
एस 1 आणि एस 2 येतील.
आमच्याकडे ७५० असतील.
ए 1 प्लस ए 2 ते ए 11, एकत्र केल्यास एकूण रक्कम कशी येईल?
ह्याच्या मदतीने ते येणार आहे.
आम्हाला पूर्वी जी सरासरी देण्यात आली होती, त्याच्या मदतीने.
तर, ही रक्कम किती असेल? 63 ते 11.
म्हणजे 693.
तर, आमच्याकडे एकूण 693 रक्कम आहे.
परंतु, आपल्याकडे जे आहे ते ७५० आहे.
तर, आमच्याकडे ए 6 असेल.
ए 6 चे मूल्य येथे ठेवा.
आमच्याकडे 693 असतील.
हे फक्त 693 आहे का?
होय, 693.
तर, ए 6 समोर आपल्याकडे काय आहे? आमच्याकडे ७५० उणे ६९३ आहेत.
म्हणजे ५७.
तर, आपल्या शेवटच्या 6 नंबर ए 6 चे मूल्य किती असावे? ते ५७
असावे.
प्रश्नानुसार आपण कोणत्या सरासरी फॉर्म्युला घेऊ शकता आणि आपण
काय करणार आहोत हे तुम्हाला समजायचं लागलं आहे का?
ते तुमच्या मनात असायला हवं.
हा प्रश्न सोपा होता का? ते सोपं होतं.
हे थोडे अवघड असू शकते
तुम्ही. पण, धीरे-धीरे तुम्हाला हे खूप सोपं वाटतंय आणि
तुम्ही खूप जलद ही गणना करू शकाल.
पुढचा प्रश्न काय? ते वाचा।
८ विद्यार्थ्यांना परीक्षेत मिळालेल्या गुणांची सरासरी ५१
होती.
म्हणजे ८ विद्यार्थ्यांची सरासरी ५१ आणि इतर ९
विद्यार्थ्यांची सरासरी ६८ होती.
तर, इतर ९ विद्यार्थ्यांची सरासरी ६८ आहे.
एवढं वाचल्यावर यात कोणतं सूत्र वापरायला हवं याचा विचार करा.
कोणता फॉर्म्युला वापरावा? बघा, काही आकड्यांची सरासरी दिली
आहे.
पहिल्या ८ विद्यार्थ्यांची सरासरी आणि इतर ९ विद्यार्थ्यांची
सरासरी अलग-अलग दिली जाते.
त्यामुळे हे कोणते सूत्र वापरावे लागेल? N वर एम वाढवून एन
प्लस एमबी विभाजित करण्याचे सूत्र वापरले जाणारे आहे.
एका सेटची औसत आणि दुसर्‍या सेटची औसत वेगळ्या आहेत हे माझे
निरीक्षण केले आहे.
त्यामुळे आम्ही तो फॉर्म्युला वापरू.
समजा, हा ८ आमचा एन आहे.
त्याची सरासरी अ म्हणजे ५१ होती.
आमच्याकडे एम म्हणून 9 आहेत.
त्याची सरासरी किती होती? ब म्हणजे ६८ आहे.
त्यामुळे सर्व १७ विद्यार्थ्यांचे सरासरी गुण जाणून घ्यावे
लागतील.
१७ विद्यार्थी कसे येणार? 9 प्लस 8 17 असतील.
त्यामुळे सर्व १७ विद्यार्थ्यांचे सरासरी गुण ए १ असतील.
ए 1 चे काय होईल? आमच्याकडे एनए प्लस एमबी एन प्लस एम ने
विभागलेले असेल. एन प्लस 1 फक्त 17 आहे.
तुम्ही हे सोडवा. 51 ते 8 आणि 9 ते 68. तो ४०८ प्लस ७२ असेल.
५४,६१२ विभाजित करून १७ने भाग घेतलं तर, त्याचा एव्हरेज मार्क
मिळेल.
चला नवीन नियमांच्या दिशेने जाऊया. आम्ही एक प्रश्न केलं
होतं, नंतर कोणत्या नंबरवर आमचा नियम होता?
कितने रूल हो गए? 6, हमारे फॉर्मूलों तक पहुंच गए थे फिर हम 7
नंबर पर जाते हैं, 7वां अभी तक हमारे पास जो भी नंबर थे वो
नैचुरल नंबर्स थे, 1 से शुरू होते हैं या तो ईवन सीरीज 2 से
शुरू होती हैं।
समजा अब ह्यूम सलग संख्या का सम राष्ट्रीय संख्या का सम
निकलना है पण वो क्या है सलग मतलब एक आने चाहिये पण वो क्या
है 1 से स्टार्ट नहीं है वो किसी और अंक से स्टार्ट है समजा
हमरे ये है 5 से स्टार्ट
हाय 5, 6, 7, 8, 9 आणि लागलो पर्यंत 25 तक है हमारे पास ये
सारे नंबर है हम इंका सम निकलना है अब ह्यूम 1 ते 25 तक का तो
पता है उसका हम निकल लेंगे उस वाले फॉर्म्युले से सुम क्यूंकी
सरासरी के लिए ह्यूम सुम की जरूर होता है और फिर हम उसमे
अगर १ से लेकर ४ तक का सम करके उसे घटा दें तो हमारे पास आ
जाएगा, लेकिन उसे करने में समय लगेगा। अगर हम सीधे इसके कोई
फार्मूले लिख दें तो वह सही होगा। इसके लिए हमें इन सभी के
कांसेक्यूटिव सम का फार्मूला क्या होगा, जो इनमें होते हैं,
उसे जानना होगा।
यदि हम सीधे इसका कोई फार्मूला लिख दें तो वह हमारे लिए सही
होगा। इसके लिए, हमें संख्या की जगह उनके औसत को निकालना
होगा। जो भी सीक्वेंस की फर्स्ट टर्म हो, हम उसे 5 के बदले ले
लेंगे और उसका नाम एल रखेंगे। फिर हम उस सीक्वेंस के लिए एक
सीधा फार्मूला लिख सकते हैं जो उनके कांसेक्यूटिव सम को
निकालता है।
होगी जो उसका नाम ले लिया एल।
आदि आणि शेवटचा सम करायचा आहे, आदि आणि शेवटचा टर्म सम करायचा
आहे आणि 2 ने भाग करायचा आहे म्हणजे त्यांची मीन व्हॅल्यू
घेतली जाते अजून एक शब्द असा आहे की त्यांची सरासरी निकालली
जाते हा आमचा सातवा बिंदू आहे.
चलो मान लेते हैं हमारे पास एक 8वां केस है। इसे हम लिख लेते
हैं। अभी हमारे पास क्या है? एक नंबर सेट है। और इसमें जो
8वां पॉइंट है, उसमें हमें क्या मिल रहा है? हमें कुछ खास
नंबर के मल्टीपल मिल रहे हैं।
विशिष्ट संख्या x के कितने मल्टिपल्स हैं, कुछ सीमित शब्दों
में हैं, अर्थात अगर मान लो n मल्टिपल्स हैं।
मतलब सबसे पहले 2 के 10 मल्टिपल हैं, उसका मतलब क्या होता है?
2 के 1 से लेकर 2 के 10 तक उसकी टेबल में आने वाले सभी नंबर
2, 4, 6, 8 आदि तक के होते हैं। इसी तरह हमें x के कितने
मल्टिपल्स लेने हैं, उसके लिए n मल्टिपल्स होते हैं।
मल्टीपल हँग
सबसे पहले तो एक्स आएगा, फिर 2 एक्स आएगा, फिर 3 एक्स आएगा और
इसी तरह जब तक न आ जाएं एन एक्स तक। अब हमें इनका औसत निकालना
है। इसके लिए उसी नियम को लागू करेंगे। इनका औसत क्या होगा?
पहला टर्म प्लस लास्ट टर्म दोनों का योग दो द्वारा विभाजित।
इसी तरह जैसे कि हमने पहले औसत वाले वीडियो में सीखा था।
टर्म हाय एक्स शेवटची टर्म हाय एन एक्स 2 तो इसका सरासरी
हमारे पास क्या हो गया एक्स प्लस एन एक्स 2 ने विभागली गेली
आहे किंवा दुसर्या शब्दात एक्स को कॉमन ले लिया 1 प्लस एन
डिव्हाईड 2 अब या तो आप इस्को स्वतंत्रपणे अलग फॉर्म्युले की
तरह ट्रीट कर लो या
तो आप ये याद रक लो और इस्की हेल्प से ये सोल्व्ह कर देना
ठीक है, जब हमने यह कर लिया तो इस तरह का प्रश्न होता है कि 5
से 25 तक के प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या होगा। इसे एक बार
हल कर लें कि यह औसत क्या होगा। यदि मैं इसे हल कर रहा हूँ तो
यह 5 प्लस...
25 2 म्हणजे 30 बाय 2 म्हणजे 15 तो इस्का सरासरी आयेगा 15 अगर
माई इसको अच्छे से लिखू अच्छे से ये श्रृंखला क्या बन रही है
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 आणि
25.
याहा तक हमारी ये क्या है ये ह्यूम निरीक्षणांच्या अटी दे
रेखी है आप देखिया हमने इसका क्या सरासरी निकाला इस्का सरासरी
आमच्या सूत्रानुसार निकला १५ ये निकला था इस्का सरासरी समजा
ह्यूम ये सारा दे रखा है और हम क्या दिखा ना है इस्का
औसत निकालने के लिए हम क्या देखते हैं, आप क्या करते हैं आदि?
आप नंबर को सॉर्ट करते जाते हैं जैसे कि यहाँ से एक नंबर
हटाया गया है।
तो यहाँ से एक नंबर हटा दिया फिर दूसरा नंबर हटाया जाता है
फिर दूसरा नंबर फिर से हटाया जाता है, इस तरह समान शब्दों को
हटाते रहें और जो बचता है उसे भी हटाते रहें, इस तरह 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 तक समान शब्द हटाएंगे।
हमने आगे से हताई 10 ये टर्म पीचे से हटांगे 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 तो 16 तक के टर्म हमने पीछे से हटा दिया 16 के बाद वाले
तो 10 टर्म आगे से हताई 10 टर्म पीचे से हताई तो जो मिड
व्हॅल्यू बच गई वही क्या हो गई हमरे सरासरी हो गई
मिड एवरेज होता ही क्या, मीन ही निकाल लिया जाता है ना।
अप्रत्यक्ष रूप से आप फॉर्मूला लगाकर भी कर सकते हैं। वैसे
इतने बेसिक प्रश्न तो आमतौर पर नहीं आते हैं, लेकिन आपको
सीखने के लिए ये सब पता होना चाहिए कि इस तरह से कैसे करें।
आब समजा हमारे पास कोई प्रश्न है हमारे पास कोई दाता अभी तो
ये लाइन वाइज सलग टर्म्स का डेटा था तो हमने ये ऐसे करके कर
दिया पण समजा हमारे पास सलग टर्म्स का डेटा ना हो मतलब साथ
साथ के नहीं है ये
हम अलग अलग है
याचा अर्थ आहे की हमाला समजा ११० १२० १२४ १३० १३५ हे आहेत आणि
याची सीमा १५० आहे.
148 आणि म्हणून कित्ते हो गए 5 6 10 कर लेटी हो 155 160 आणि
126 आणि 130 132 हमारे पास ये निरीक्षणांचा संच है हममें क्या
करना है हममें का शोधा कर्ण है सरासरी ये भी हो सकते है अभी
तो छोटे निरीक्षण ले रेखे है
सभी को नमस्कार, औसतों पर एक और वीडियो में आपका स्वागत है।
पिछले औसत वीडियो में, हमने ... कितने हो गए हैं। हमें इनका
औसत ढूंढना है। ये भी हो सकता है कि हमारे पास अधिक संख्या के
निरीक्षण हों, जैसे 100 या अधिक। उनका औसत निकालने के लिए हम
इनका कुल योग कर सकते हैं।
और फिर उन सभी अंकों को जोड़कर 10 से विभाजित करें तो आपको
औसत मिल जाएगा और एक और तरीका है आपके डिविएशन वाले मेथड का
जिसका मतलब assumed mean वाले का होता है। सबसे पहले आप क्या
करेंगे? आप इसमें सबसे छोटा और सबसे बड़ा नंबर निकालें।
एक बार अगर हम इसका फाइंड आउट कर लेते हैं तो सबसे छोटा नंबर
हमारे पास 110 है और सबसे बड़ा नंबर 155 है। अब हमें क्या
करना है, हम इसके बीच की कोई भी मान ले सकते हैं और उसे
assumed mean कहते हैं।
वो इसका एव्हरेज है ए उसको नाम दे देते हैं ए 1 से टेक एवरेज
तो वो क्या हो जाएगा इंका बीच का कोई नंबर ले लो जैसे 110 है
और 155 है सॉरी 155 नहीं है हाइस्ट लास्ट जो हमरे है वो है
तो 150 नाही हुआ इस्का सर्वात मोठा इस्का हुआ सर्वात मोठा
हमारे पास 160
थेके 160 हुआ तो एक हो गया 110 और एक हो गया 160 इंका बीच का
नंबर क्या ले ले
130 ले ले क्या फरक क्या हो गया इंका 50 का 50 तो 25 का हो
गया ना तो 135 हो जाएगा इंका बीच का सरासरी बीच वाली मूल्य तो
130 भी ले लो उसमे भी कोई डिक्कर नहीं है गणना सोपी हो जाएगी
तो आप ऐसा करे आप क्या ले ले 130 ले
लेट हैं ताके गणना हममें तो इझी पाडे 135 भी ले सकते 140 भी
ले सकते जो भी आपका मन करे आप वो ले सकते तो 130 हमने इंका
बीच का नंबर ले लिया अब आप क्या किजिये 130 का इन सबसे क्या
निकलते जायिये फरक और फरक कैसे आगर
देखो, 130 से 110 कम करेंगे तो हमें पीछे जाने के लिए 20
स्टेप्स लगेंगे। तो जितना आपको पीछे जाना है, आप नेगेटिव साइन
लगा दीजिए।
मग दुसऱ्या पेनातून करूया, काय होईल?
चला ११० पासून आधी करूया, तर त्यानंतर काय येणार? २० कारण
आहेत की आपण पायऱ्यांच्या २० फरकाने मागे जात आहोत, म्हणून ते
२० किती जोडायचे आहे ११० मधून १३० होण्यासाठी, त्यापेक्षा कमी
असल्याने ते १२० साठी असेल.
जर 124 साठी ते 6 कमी होईल तर, हे शून्य होईल, 135 साठी ते 5
जास्त होईल, कारण ते 5 पेक्षा जास्त आहे.
हे प्लस 20 असेल, हे प्लस 18 असेल, हे प्लस 25 असेल.
हे उणे 4 आहे आणि हे प्लस 2 आहे.
आता तुम्हाला काय करायचे आहे, या मोठ्या अटी विसरायला हव्यात.
आणि मी निळ्या रंगात लिहिलेले हे शब्द तुम्हाला दिसतात.
कारण हे सोडवायला तुलनेने लहान असतात.
त्यामुळे जर तुमची संख्या 4 किंवा 3 अंकी पेक्षा जास्त असेल
तर हे 4 किंवा 5 आहे.
त्यामुळे त्यात काय होते, हिशोब कमी होण्यास थोडी मदत होते.
कारण हा कट डाऊन केल्याने आपल्याला 2 अंकी, 1 अंकी मिळत आहे.
आम्ही त्या सोडवू.
आता तुम्ही काय कराल, जी काही चिन्हे शिल्लक आहेत, ती सोडवत
राहा.
तर हे उणे २०, उणे १०, किती असेल?
उणे ३०, उणे ३६ आणि हे उणे ४ आहे.
म्हणजे उणे एक उणे ४० असेल.
प्लस वन काय असेल?
प्लस 5, ठीक आहे.
तसेच २५ ३० असतील.
प्लस २०, प्लस ५०.
50 प्लस 18, 58 प्लस 2, 70.
तर प्लस ७०.
आता हे चिन्हाने सोडवा, मग ते काय असेल? ७० उणे ४०, म्हणजे
प्लस ३०.
त्यामुळे आपल्याला जे काही उत्तर मिळालं आहे, ते पहिल्या
सरासरीत गृहीत धरा.
त्याच चिन्हासह सरासरीत समजा.
उणे असते तर आम्ही उणे केले असते.
आता आमच्याकडे हा प्लस शिल्लक आहे.
त्यामुळे आम्ही जे करत आहोत, ते प्लस करत आहोत.
जर आपण प्लस 30 केले, तर आम्हाला मिळालेली सरासरी किती आहे?
160.
त्यामुळे आता अंतिम आहे, समजा आमची सरासरी १३० होती.
पण जेव्हा आपण हे सोडवले, तेव्हा आपल्याला मिळालेली सरासरी
किती आहे? 160.
त्यामुळे एकदा कॅलक्युलेटरने याची गणना करा.
या सर्वांचा सारांश करा.
आणि योगानंतर काय करावे?
एकूण अटींच्या संख्येने त्याची विभागणी करा.
माफ करा।
माफ करा, चूक झाली.
इथे आम्ही प्लस ३० करणार नाही.
कारण एकूण टर्म्स आल्या नाहीत.
मग ३० चं काय करणार? प्रथम आपण एकूण अटींच्या संख्येनुसार 30
ची विभागणी करू.
एकूण कितीही अटी आहेत.
उणे ३० असते, तर आम्ही उणे ३० ने विभागणी केली असती.
आता ती प्लस ३० झाली आहे.
मग प्लस 30 चे काय करायचे? तुम्ही प्लस ३० करा.
येथे पहा, आपण प्लस 30 कराल.
प्रथम १० ने वाटून घ्या.
एकूण अटींची संख्या.
जर ते ११ असते तर आम्ही ११ ने विभागले असते.
एकूण निरीक्षणांची संख्या कितीही असो.
त्यावरून आपण विभागणी करू.
त्यामुळे ३ शिल्लक आहेत, ३ प्लस.
तुम्ही ते गृहीत अर्थाने लिहाल.
त्यामुळे ही च आमची सरासरी असेल.
अंतिम सरासरी १३३ आहे.
तर तुमची सरासरी १३३ आहे.
जे 130 च्या जवळपास होते.
जर तुम्ही १३५ घेतले असते, तर हिशोब केला असता.
तुम्ही त्याचं काय केलं असतं? आधी तुम्ही यापासून विचलित झाला
असता.
म्हणजे या निरीक्षणापासून किती अंतर आहे.
मग तुम्ही सर्व विचलन सोडवले असते.
अंतिम आला, आम्ही त्याची एकूण अटींच्या संख्येने विभागणी करू.
आणि गृहीत धरलेल्या सरासरीतून ते जोडा किंवा वजा करा.
त्यामुळे विभागणीची ही पद्धत तुम्हाला स्पष्ट होईल, अशी मला
आशा आहे.
आत्तापर्यंत सर्व सूत्रे स्पष्ट होतील.
आणि आम्ही जे प्रश्न केले आहेत, ते आजच्या वर्गात स्पष्ट
होतील.
हे अधिक धारदार आणि स्पष्ट करण्यासाठी, आपण आपल्या संकल्पना
आणि प्रश्नांचा सराव करत रहा.
व्हिडिओ पाहिल्याबद्दल धन्यवाद.
नाही मी केले नाही।
हे कशाबद्दल आहे?
फक्त, जर तुम्ही आपल्या मित्रांना अभिनंदन देण्यासाठी अभिनंदन
पत्रिका आणि कर अभ्यासक्रमावरील उन्नत प्रमाणपत्र यांचा
संदर्भ देता तो लेखापालांसाठी 3 वर्षांचा अनुभव असलेल्या
लोकांना सांगा आणि त्यांनी तुमचा रेफरल कोड वापरून साइन अप
केला तर तुम्हाला काही उत्तम बक्षिसे मिळतील.
हे मनोरंजक वाटते.
आपण प्रत्येक मित्रासाठी संदर्भित केल्यानंतर, आपण गुण जमा
करू शकता ज्यामुळे आपण डिस्काऊंट किंवा कॅश रिवॉर्ड्स मिळवू
शकता.
आणि हा कोर्स पूर्ण केल्यानंतर तुम्हाला जॉब गॅरंटीही मिळेल.
माझी गणना करा. मी माझ्या सर्व वर्गमित्रांपर्यंत हा शब्द
पोहोचवण्याची खात्री करीन.