అందరికీ నమస్కారం, మా కొత్త వీడియోకు స్వాగతం.
నేటి వీడియోలో మనం చర్చించబోయే అంశం అర్థమెటిక్ ప్రోగ్రెషన్.
క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే ఏపీ అని పిలుస్తాం.
అర్థమెటిక్ పురోగతి అంటే ఏమిటి?
ముందుగా సీక్వెన్స్ అంటే ఏంటో తెలుసుకోవాలి.
క్రమం అంటే ఏమిటి?
గణితంలో సంఖ్యల క్రమాన్ని మనం చూస్తాం.
క్రమం అర్థం లేదా పట్టికలో సంఖ్యలు సరిగా నిర్వచించబడతాయి.
మరి ఆ లెక్కలు ఎలా వస్తాయి?
అవి ఒక ఫార్ములా లేదా నియమం సహాయంతో వస్తాయి.
మీకు ఒక ఫార్ములా ఇచ్చారనుకోండి.
2ఎన్ ప్లస్ 1 ఉండాలి.
మీకు 2ఎన్ ప్లస్ 1 అనే ఫార్ములా ఇచ్చారు.
మరియు ఇక్కడ దీనికి సమానంగా ఇవ్వబడుతుంది.
యాన్ అంటే ఏమిటి? అది చిరునామా.
అంకెలను క్రమపద్ధతిలో రాసే విధానం.
ఒక నమూనాలో మొదటి సంఖ్య, తరువాత రెండవ సంఖ్య, మూడవ సంఖ్య,
నాల్గవ సంఖ్య మరియు ఇంకా మరిన్ని సంఖ్యలు.
అందుకోసం ఓ ఫార్ములా ఇచ్చారు.
an అనేది 2n ప్లస్ 1కు సమానం.
ఇప్పుడు, దాని నుండి సంఖ్యలను ఎలా పొందాలి? మేము ఎక్కడ నుంచి
క్రమం ప్రారంభించాలి? n విలువను నుండి, 1 నుండి ప్రారంభించాలి.
1 నుంచి ఎందుకు? ఎందుకంటే ఇది మా మొదటి టర్మ్.
కాబట్టి, ఇక్కడ సూచించబడిన మొదటి పదం, మీరు రాస్తున్న పదాల
సంఖ్యను సూచిస్తుంది.
మీరు ఎన్ని పదాలను కనుగొంటారు.
కాబట్టి, n అనేది మీ పదాల సంఖ్య.
సహజంగానే మొదటి టర్మ్ వస్తుంది.
కాబట్టి, మనం n యొక్క విలువను 1 వలే ఉంచుతాము.
కాబట్టి, మనం నిర్ణయించిన మొత్తం పదాల సంఖ్య ఒకటి మాత్రమే
ఉంటే, ఆగుతుంది కాబట్టి మీరు a1 ముందు ఏమి కనబడుతుంది?
మీకు 2 ఉన్నాయి.
n ఉన్న చోట, మీరు nను 1 తో భర్తీ చేస్తారు.
ఎందుకంటే మనం n యొక్క విలువను 1 గా తీసుకుంటున్నాము.
కాబట్టి, A1 అనేది 2కు సమానం.
nకు బదులుగా, మనకు 1 ఉంది.
కాబట్టి, 2 నుండి 1 ప్లస్ 1.
అంటే 2 నుంచి 2 అంటే 2 ప్లస్ 1 అంటే 3.
క్రమం యొక్క మీ మొదటి పదం ఇది.
అదేవిధంగా, మీరు నిర్వచించిన ఫార్ములా ఉపయోగించి రెండవ
పదాన్ని కనుగొనవచ్చు.
ఇప్పుడు, a2ను కనుగొనడానికి n యొక్క విలువ ఎంత? 2.
కాబట్టి, 2 నుండి 2 ప్లస్ 1.
అంటే 4 ప్లస్ 1 అంటే 5.
అప్పుడు, A3.
ఏ3 ఎలా ఉంటుంది? 2 నుండి 3.
అంటే 6.
6 ప్లస్ 1.
6 ప్లస్ 1 అంటే 7.
ఆపై వగైరా.
ఏ3 ముందు అన్ని విలువలు తెలుసుకోవచ్చు.
కాబట్టి, మీరు ఈ సంఖ్యలను లైన్ల వారీగా రాస్తే.
మొదటి సంఖ్య ఆర్డర్ల వారీగా వస్తోంది.
మొదటి సంఖ్య ఎ1.
ముందుగా మీరు ఏ1 అని రాస్తారు.
ఆ తర్వాత రెండో టర్మ్ ఏ2.
అప్పుడు, A3.
ఆపై వగైరా.
ఇది పెరుగుతూనే ఉంటుంది.
మీరు కోరుకున్నన్ని పదాలను జోడించడం కొనసాగించవచ్చు.
కాబట్టి, మీరు ఎ 1 ను 3 గా ఉంచుతారు.
అప్పుడు, మీరు ఒక కామాను 5 గా ఉంచుతారు.
అప్పుడు, ఒక కామం 7.
అప్పుడు, తదుపరి టర్మ్ 9 అవుతుంది.
మొదలైనవి.
ఇది పెరుగుతూనే ఉంటుంది.
కాబట్టి, దీన్నే మనం సంఖ్యల క్రమం అంటాం.
ఇప్పుడు ఓ సీక్వెన్స్ గురించి మాట్లాడుకుంటున్నాం.
మీరు చూడండి, 3, 5, 7, 9 మొదలైనవి.
కాబట్టి, ఇది మీ క్రమం.
ఇప్పుడు, ఇందులో మొదటి టర్మ్ ఏమిటి? 3.
కాబట్టి, ఈ పదాలు కామా నుండి వేరుకు వస్తున్నాయి.
ఇవి ఏమిటి?
ఇవీ మీ షరతులు.
కాబట్టి, క్రమం పరిమిత పదాలతో ఉండవచ్చు.
కేవలం 4 మాత్రమే కనిపిస్తే..
కాబట్టి, ఈ క్రమంలో కేవలం 4 పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.
కాబట్టి, ఇది పరిమితం అవుతుంది.
ఇది పెరుగుతూ పోతే ఎన్ కు అంతం ఉండదు.
మీరు n యొక్క ఏదైనా విలువను ఉంచవచ్చు.
కానీ, n యొక్క చివరి విలువ మీకు తెలియదు.
కాబట్టి, సంఖ్యలు పెరుగుతూనే ఉంటాయి.
కాబట్టి, అది మీ అనంత క్రమం అవుతుంది.
ఇప్పుడు ఓ సీక్వెన్స్ గురించి మాట్లాడుకుంటున్నాం.
ఇప్పుడు, క్రమాన్ని అర్థం చేసుకున్నారా అని అర్థం పడితే,
త్వరగా ఒక ఉదాహరణను చేయండి.
మీకు కొత్త ఫార్ములా ఇస్తున్నాను.
మీరు 2n ప్లస్ 1 యొక్క శక్తితో nను సూచించాల్సి ఉంటుంది.
కాబట్టి, మొదటి టర్మ్ 2ఎన్ ప్లస్ 1 అవుతుంది.
కాబట్టి, త్వరగా దీని క్రమాన్ని రూపొందించండి.
నేను చేస్తాను.
అన్నింటికంటే ముందు, మీరు ఎన్ తీసుకుంటారు.
ఎన్ కోసం మీరు ఏమి తీసుకోవాలి? 1. నిజమైనది అనేక ఉదాహరణలు
తీసుకోండి. మీరు ప్రస్తుత ఫార్ములను అనుసరించి, n ను 1 గా
తీసుకోవచ్చు. అప్పుడు a1 2 కి సమానం అవుతుంది.
n ఉన్న చోట 1, 1 ప్లస్ 1 అంటే 2 పవర్ 2.
ఈ సంఖ్య 4 అవుతుంది.
అప్పుడు, మీరు తరువాత ఏమి చేస్తారు? n అనేది 2కు సమానం.
n అనేది 2కు సమానం కనుక, మీకు a2 సంఖ్య లభిస్తుంది.
A2 సంఖ్యకు, రెండవ టర్మ్ 2 అవుతుంది.
2 ప్లస్ 1.
ఎందుకంటే n అనేది 2, 2 ప్లస్ 1కు సమానం.
కాబట్టి, ఇది 2 పవర్ 3 అవుతుంది.
అంటే 8.
అదేవిధంగా ఏ3 తీసుకుంటే అది 2 పవర్ 4 అవుతుంది.
అంటే 16.
అలా పెరుగుతూనే ఉంటుంది.
సంఖ్య పెరుగుతూనే ఉంటుంది.
కాబట్టి, ఇది మీ క్రమం.
కాబట్టి, ఒక ఫార్ములా ద్వారా సంఖ్యలు ఒక స్థిర నమూనాలో
వస్తున్నట్లు ఉంటే, n విలువను ఉంచినప్పుడు, మీరు మొదటి టర్మ్,
రెండవ టర్మ్ మరియు మరింత టర్మ్స్ పొందుతున్నారు.
కాబట్టి, అది మీ క్రమం.
ఇప్పుడు ఈ సీక్వెన్స్ తర్వాతిది సిరీస్.
సిరీస్ అంటే ఏమిటి?
సీక్వెన్స్ లోని పదాలను జోడించి రాస్తే..
ఉదాహరణకు, మీరు 2 కి వెలువడించుకున్నప్పుడు, అది మొదటి పదం
ఏమిటి? 4, 8, 16.
4, 8, 16 అని రాస్తున్నారు.
Instead of using commas, if you write 4 plus 8 plus 16,
like that.
ఇప్పుడు ఈ పదాలన్నీ ఆ క్రమంలోనే ఉన్నాయి.
కానీ వాటిని యాడ్ గా రాస్తున్నాం.
అయితే, దీనిని ఏమని పిలుస్తారు?
ఇప్పుడు దీన్నే సిరీస్ అంటారు.
కాబట్టి, సీక్వెన్స్ మరియు సిరీస్ మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే,
మీరు క్రమం యొక్క పదాలను కమాలులో వేరు చేస్తారు.
ధారావాహికలో, మీరు ఒకే పదాలను జోడించి మీరు ప్రస్తుతం
రాస్తున్నారు.
కాబట్టి, మీ అంకగణిత పురోగతిలో ప్రాథమిక సాధనాన్ని మేము
ఇప్పుడే చదివాము.
అంటే, ఎక్కడో, వారు ఒకరి నుండి జన్మించారు.
ఏపీ ఎవరో ఒకరి నుంచి పుట్టింది.
కాబట్టి, మీరు క్రమం తెలుసుకోవాలి.
ఇప్పుడు, అర్థమెటిక్ పురోగతి అంటే ఏమిటి?
మీరు చూసిన ఈ ప్రశ్నలో, మొదటిలో 4 ఉంటే, అప్పుడు 8 ఉంటే,
అప్పుడు 16 ఉంటుంది.
కాబట్టి, వాటి మధ్య గ్యాప్, 4 నుండి 8 వరకు, మీరు ఎన్ని దశలకు
చేరుకుంటారు?
మీరు 4 దశలను కవర్ చేయాల్సి ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, 1 దశ 4 నుండి 5, తరువాత 5 నుండి 6, 6 నుండి 7,
తరువాత 7 నుండి 8.
కాబట్టి, ఇక్కడ, మీరు 4 దశల తరువాత చేరుకుంటున్నారు.
మొదటి టర్మ్ నుంచి రెండవ టర్మ్ వరకు 4 అడుగుల తర్వాత
చేరుకున్నారు.
అప్పుడు, మీరు 8 నుండి 6 తరువాత చేరుకుంటారు.
అర్థం, రెండవ టర్మ్ నుండి మూడవ టర్మ్ వరకు ఎన్ని అడుగులు
వేస్తున్నారు?
మీరు 8 దశల తరువాత చేరుకుంటున్నారు.
ఇప్పుడు, 16 నుండి తదుపరి సంఖ్యకు, మీరు దానిని ఫార్ములాలో
ఉపయోగించితే, మీరు 32 పొందవచ్చు.
16 నుండి 32 వరకు, మీరు ఎన్ని దశలను చేరుకుంటారు?
మీరు 16 దశల తరువాత చేరుకుంటారు.
కాబట్టి, ఈ దశలు, వరుసగా రెండు సంఖ్యల మధ్య, ఒక క్రమం యొక్క
రెండు పదాల మధ్య, ప్రక్కనే ఉన్న 2 మరియు 7 పదాలలో, మీరు
అంతరాన్ని చూస్తే, మీకు ఒక విషయం లేదు. అంటే, ఇది సాధారణం
కాదు.
వాటన్నింటిలో గ్యాప్ వేరు.
ఇందులో ఇది 4.
ఇందులో గ్యాప్ 8కి పెరిగింది.
ఆ తర్వాత ఆ గ్యాప్ 16కు పెరుగుతోంది.
మొదలైనవి.
కాబట్టి, ఈ గ్యాప్ ఉంటే అదే గ్యాప్ కావాలి కానీ భిన్నంగా
ఉండకండి.
3, 5, 7, 9, మొదలైన మొదటి ఉదాహరణను మీరు చేశారు. దీనిలో, మీరు
చూస్తారు, 3 మరియు 5 మధ్య, అంతరం ఎంత?
2 దశల గ్యాప్ ఉంది.
ఇది కూడా అదేవిధంగా, 5 మరియు 7 మధ్య ఒక గ్యాప్ ఉంటుంది. 9
మరియు 7 మధ్య కూడా ఒక గ్యాప్ ఉంటుంది.
మీరు ముందుకు వెళ్ళితే, మీరు పొందుని గ్యాప్ రెండు టర్మ్ల
మధ్య ఒకే గ్యాప్ ఉంటుంది. మీరు ఒక సీక్వెన్స్ లో ఉంటే,
కనిపిస్తుంది కానీ ఒక సీక్వెన్స్ లో రెండు అనుకూల టర్మ్ల మధ్య
ఒకే గ్యాప్ ఉంటుంది.
నిబంధనలు..
క్రమశః అర్థం కాకుండా, ఒకే సంఖ్యా అంతరం ఉన్న రెండు పక్కా
ఉన్న టర్మ్ల మధ్య సమానంగా ఉంటే, అర్థమైన పురోగతి.
అంకగణిత పురోగతి
అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి.
అంకగణిత పురోగతిలో ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి. కాబట్టి, a3 ను
తీసుకోవడం వలె, వాల్యూ అదే ఉంటుంది కానీ అది నెగెటివ్ గా
ఉంటుంది.
కాబట్టి, మీ ప్రశ్న పూర్తి భిన్నంగా ఉండవచ్చు, అది నెగెటివ్
లో ఉండవచ్చు.
కాబట్టి, A3 నుండి, మేము ఎల్లప్పుడూ మునుపటిదాన్ని మైనస్
చేస్తాము.
కాబట్టి, d యొక్క విలువ ఎంత? d అనేది A3 మైనస్ a2 లేదా A2
మైనస్ a1 అవుతుంది.
మీరు రెండువేళ్లు తీసుకోగలరు. గ్యాప్ సమానంగా ఉంటే, మీరు
ఏదైనా తీసుకోవచ్చున్నారు.
ఇప్పుడు, ఎ 3 అంటే ఏమిటి? ఇది 5. కాబట్టి, 5 మైనస్ 1 అంటే 4.
4 గ్యాప్ ఉంది.
అదేవిధంగా, మీరు -3 నుండి 1 తీసుకుంటే, ఏమవుతుంది? 1 నుండి -3
తీసుకునే మైనస్ అంశం.
1 ప్లస్ 3, అంటే 4.
కాబట్టి రెండింటిలోనూ గ్యాప్ ఒకేలా ఉండాల్సింది.
అదే, అంటే 4.
కాబట్టి, మీకు డి యొక్క విలువ కూడా లభించింది.
కాబట్టి, అ వచ్చింది, అ ఉంది, d ఉంది, n కూడా ఉంది.
కాబట్టి, ఐదవ టర్మ్ తీసుకోండి.
So, what is a5? It's equal to a, which has a value of minus
3, plus n minus 1, that is 5 minus 1.
d యొక్క విలువ 4.
ఇంతకీ ఏం జరిగింది? మైనస్ 3 ప్లస్ 4 నుంచి 4 వరకు 16.
16 మైనస్ 3 అంటే 13.
అంటే మీ ఐదో టర్మ్ 15 అవుతుంది.
ఇది మీకు ఎలా వచ్చింది?
చూడండి, ఇది మళ్ళీ ఐదవ టర్మ్ యొక్క ప్రశ్న.
కాబట్టి, మీరు దీన్ని ఏ విధంగానైనా చేయవచ్చు.
Instead, to solve this problem, you are given the third
term.
సాధారణ వ్యత్యాసం డి.
కాబట్టి 4 నుంచి 5 కలిపితే నాలుగో టర్మ్ వస్తుంది.
ఆ తర్వాత 4 నుంచి 9 కలిపితే ఐదో టర్మ్ వస్తుంది.
కాబట్టి, మీరు దానిని అక్కడి నుండి కూడా తీసుకోవచ్చు.
ఎందుకంటే ఇప్పుడు ఇది చాలా తక్కువ సంఖ్య.
ఇది గతానికి సంబంధించిన ప్రశ్న మాత్రమే.
Because when we have to solve a big problem, it takes more
time, but when it's a small one, it takes less time, so
obviously we'll choose that way.
కాబట్టి, మీరు దీన్ని కూడా చేయవచ్చు.
ఈ ప్రశ్న చాలా సులభం కదా?
సరే.
అందుకే ఎన్టీహెచ్ టర్మ్ చేశాం.
ఇప్పుడు, మీ వద్ద ఉన్న తదుపరి విషయం ఏమిటంటే, మేము తొమ్మిదవ
టర్మ్ కోసం ఫార్ములా చేసాము.
తరువాత, మీకు క్రమం ఉంటుంది.
ఇప్పుడు ఏపీలో సంఖ్యాబలం ఉంది.
మొదటి సంఖ్య A, తరువాత A+ D, తరువాత A+ 2D, మరియు A నుండి N-1
వరకు D కలిగిన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
ఇది తొమ్మిదవ పదం.
ఇది మరింత ముందుకు వెళ్తుందో లేదో.
కాబట్టి, మనం పరిమిత క్రమాన్ని తీసుకుంటున్నామనుకోండి.
ఏది? పరిమితమైన ఏపీ..
మనది పరిమితమైన ఏపీ.
అంటే, AN వరకు పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.
ఇప్పుడు మనం అవి అన్నీ కలిగి మొత్తం కనుగొనాలి.
మనం కనుక్కోవలసింది ఆ మొత్తమే.
అంటే వీటన్నింటినీ కలిపితే మనకు ఏం లభిస్తుంది?
వీటన్నిటినీ కలిపితే ఎలా ఉంటుందో తెలుసుకోవాలి.
అయితే, ఇది ఎలా ఉంటుంది?
వాటి చేరిక..
ఒకవేళ మీరు ఇవ్వినవిల్లా జోడించినట్లయితే, A ప్లస్ A ప్లస్ A
ఎన్నో సార్లు జోడించబడుతుంది. అందువల్ల మీరు వివరాలు
పొందవచ్చు.
A ని N సార్లు జోడించబడుతోంది.
మరి ఈ డి ప్లస్ 2డి ప్లస్ ఎంత దూరం వెళ్తోంది?
N మైనస్ 1D వరకు, D యొక్క నిబంధనలు జోడించబడతాయి.
కాబట్టి, మొత్తం యొక్క డైరెక్ట్ ఫార్ములా రాయండి.
మొత్తం ఎస్.
మనం ఎన్ టిహెచ్ పదాన్ని AN గా సూచించినట్లే, అదేవిధంగా, AP
యొక్క N పదాల మొత్తం.
ఇది ఏమిటీ?
ఒక AP యొక్క N యొక్క మొత్తం.
దీనికి ఫార్ములా ఏమిటి?
ఇందుకు రెండు ఫార్ములాలు ఉన్నాయి.
మొదట, మీరు N బై 2 చేస్తారు.
బ్రాకెట్లలో, A ప్లస్ L.
ఎ ప్లస్ ఎల్, ఇప్పుడు మీరు చెబుతారు,
మేడమ్, ఈ కొత్త వేరియబుల్ ఎక్కడి నుండి వచ్చింది?
L.
మీ అందరికీ ఎ, మొదటి పదం తెలుసు.
N, ఎన్ని పదాలు ఉంటాయో మీకు తెలుసు.
ఎల్ అనేది కొత్త విషయం.
అదే మీ చివరి టర్మ్.
చివరి టర్మ్ ఇదే అవుతుంది.
ఇది మీ ఎల్ అవుతుంది.
మీరు దీనిని L తో సూచిస్తారు.
మీరు L తో చివరి పదాన్ని సూచించారు.
ఇప్పుడు, మీరు గత టర్మ్ యొక్క ఈ విలువను కలిపితే,
ఒక ప్లస్ N మైనస్ 1D, అప్పుడు ఈ ఫార్ములా N బై 2, 2A, 1A
మరియు దీనిలో 1A అవుతుంది, మీరు L యొక్క విలువను ఉంచినప్పుడు,
అప్పుడు అది వస్తుంది.
ప్లస్ ఎన్ మైనస్ 1డి.
ఇది ఎప్పుడు?
అనుకోండి, మీకు చివరి టర్మ్ ఇవ్వబడకపోతే, N, D మరియు A తో
సహాయం తో దీనిని పొందవచ్చు.
కాబట్టి, ఇది మీ మొత్తం ఫార్ములా.
ఇది కూడా ముఖ్యమే.
కాబట్టి, వీటిలో దేనినైనా మీరు గుర్తుంచుకోవచ్చు.
సహజంగానే, మరొకటి.
ఎల్ తో ఉన్నదాన్ని గుర్తుంచుకోండి.
Nth పదం యొక్క ఫార్ములాను L లో ఉంచండి.
మీరు మొత్తం యొక్క ఫార్ములాను పొందుతారు.
సరే? ఈ విషయాన్ని త్వరగా గుర్తుంచుకోండి.
దీనిపై ఒక ప్రశ్న చూద్దాం.
ఇది పరిమితం కోసం.
అనంతమైన వాటిని కూడా చూస్తాం.
కానీ, ప్రస్తుతానికి, ఇది పరిమిత నిబంధనల కోసం.
ఏపీలో పరిమిత సంఖ్యలోనే టర్మ్స్ ఉంటే వాటి మొత్తం ఎంత?
సరే? కాబట్టి, దీనిపై ప్రశ్నను చూడండి.
దీనిని చూడండి.
400 ప్లస్ 404 ప్లస్ 408 ప్లస్ విలువను 800 వరకు కనుగొనండి.
ఇప్పుడు ఇది చూడండి.
ప్రశ్నించే వ్యక్తి చాలా తెలివైనవాడు.
నీతో ఆడుకున్నాడు.
ఏపీ మొత్తాన్ని కనుక్కోవడానికి ఆయన మీకు భాష ఇవ్వలేదు.
కాబట్టి, మీ మనస్సులో అకస్మాత్తుగా క్లిక్ రాకుండా ఉంటుంది.
అది ఏపీ అని..
కుడివైపు? అని సూటిగా ప్రశ్నించలేదు.
అతను ఏం చేశాడు?
దాన్ని మొత్తంగా రాశాడు.
ఇప్పుడు, మీరు మొదటి దశ గురించి ఆలోచించాలి.
ఇదేనా ఏపీ?
అంటే మీ మనసులో అకస్మాత్తుగా క్లిక్ అవ్వదు.
ఇది ఏపీనా కాదా?
ఒకవేళ అతను కమాలో ఇచ్చి ఉంటే, అప్పుడు అతను చెప్పి ఉంటే, వారి
మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
అప్పుడు మీరు ఇది ఏపీ అని దృష్టి సారించి ఉంటారు.
కానీ, ఇప్పుడు, మీరు ఏమి చేస్తారు?
అన్నింటికంటే ముందు, మీరు దీనిని పట్టుకుంటారు.
ఆ మొత్తాన్ని కనుక్కోవాల్సి వస్తే ఇది ఏపీ నుంచి వచ్చిందా?
మనం తరువాత GPని చదువుతాం.
జీపీ వేరు.
అయితే, ఇది ఏపీనా?
ఏపీ లేదా జీపీ నుంచి పరిశీలిస్తాం.
ఇక ఏపీకి చెక్ పెడదాం.
కాబట్టి, ఇందులో మీరు గ్యాప్ చూస్తారు.
ఇది బేసిక్ గా ఏమీ కాదు.
ఇదీ ఏపీ క్రమం.
ఈ రూపంలో..
మొదటి టర్మ్ 400.
అప్పుడు రెండో టర్మ్ 404.
408 నుంచి 800 వరకు..
చివరి టర్మ్ 800.
ఇప్పుడు ఈ ఏపీని చూస్తే..
ఇవీ మీ షరతులు.
వాటి తేడా చూడండి.
404 మైనస్ 400.
వ్యత్యాసం 4.
అర్థం, 400 నుండి 404 కు వెళ్లడానికి, మేము ప్లస్ 4 అడుగులు
వెయ్యాలి.
404 నుంచి 408 వరకు ప్లస్ 4 స్టెప్స్ వేయాల్సి ఉంటుంది.
ఇలా 4 స్టెప్స్ వేయడం ద్వారా..
కాబట్టి, ఇది మా సాధారణ వ్యత్యాసం.
ఏమి? సాధారణ వ్యత్యాసం, D యొక్క విలువ 4.
సరే? మీరు A యొక్క విలువను చూడవచ్చు.
మొదటి టర్మ్ A 400కు సమానం.
ఇంతకీ ఆ 800 ఏంటి? 800 మీ చివరి టర్మ్.
దీనిని మీరు L ద్వారా సూచిస్తారు.
800.
మీకు ఎల్ ఉంది.
మీ దగ్గర ఏముంది?
మీకు A యొక్క విలువ ఉంది.
కాబట్టి, మీరు మొత్తం కోసం ఫార్ములాను కనుగొనగలరా?
మొత్తం అంటే ఏమిటి?
N బై 2.
ఎ ప్లస్ ఎల్.
ఎ ప్లస్ ఎల్ అంటే ఎ.
నేను ఇక్కడ ఉన్నాను.
N ఇక్కడ లేదు.
మీరు చేయవలసింది అందువల్ల, N యొక్క విలువను నమోదు
చేసినప్పుడు, మీరు మొత్తం పొందవచ్చు.
ఇప్పుడు, Nను ఎలా కనుగొనాలి?
మేం ఏం చేసినా ఆ ఫార్ములానే వాడతాం.
మరెవరినీ ఉపయోగించరు.
మీరు AN కోసం ఫార్ములా చేసారా? AN కోసం ఫార్ములా ఏమిటి?
AN అనే పదం దేనికి సమానం
ఎ ప్లస్ ఎన్ మైనస్ 1డి.
అవును? గత టర్మ్ నుంచి పదాల సంఖ్యను కనుగొనగలరు.
కాబట్టి, చివరి టర్మ్ తీసుకుందాం.
AN.
కాబట్టి, AN అనేది 800కు సమానం.
A యొక్క విలువ ఎంత?
A అనేది 400కు సమానం.
మీరు ఎన్ ను కనుగొనాలి.
D యొక్క విలువ ఎంత? 4.
మీరు ఇది పరిష్కరించగలరా? 800 ను 400 తో తిరిగి వదిలివేయండి.
400 అందుబాటులో N-1D కంటే సమానం.
అంటే 4.
4 విభజిస్తే 100 వస్తాయి.
100 అనేది N మైనస్ 1కు సమానం.
N యొక్క విలువ ఎంత? 100 మైనస్ 1 అంటే 101కు సమానం.
N యొక్క విలువ ఎంత? 101.
ఏ పదం 800? 101వ టర్మ్.
101వ టర్మ్.
మీకు ఏ101 ఉంది.
N యొక్క విలువను ఇక్కడ ఉంచండి.
విలువ పెట్టండి.
ఏం జరుగుతుంది? N అనేది 101 బై 2 కు సమానం.
A అనేది 400కు సమానం.
L అనేది 800కు సమానం.
దాన్ని పరిష్కరించండి.
అంటే 1200. 1200 ని 2 తో విభజించడం అంటే 600.
దీనితో 600 గుణిస్తే 606 మరియు 20600 అవుతుంది.
సరే? నేను దానిని త్వరగా పరిష్కరించాను, కానీ మీరు కూడా
చేయగలరు.
400 ప్లస్ 12.
ఇప్పుడు, మీరు ప్రవేశం, ప్లేస్మెంట్ మరియు ఇతర పరీక్షలకు
వెళ్లాలనుకుంటే, మీ గణిత శక్తి ఖచ్చితంగా పెరిగిపోవాలి.
అంటే 400 ప్లస్ 800 అంటే 1200.
1200 బై 2 అంటే 600.
తరువాత, 600 ను 101 తో గుణించండి.
అప్పుడు, మీకు మొత్తం యొక్క సమాధానం లభిస్తుంది.
ఓకే? ఇంకా మీరు ఏమి చేస్తారు? మీరు కాల్కులేటర్ తీసుకోవచ్చు
మరియు అన్ని సంఖ్యలను జోడించి ఉంచవచ్చు.
మీరు అలా చేసి ఉండరు కదా?
అందుకే, గణితం మీ సౌకర్యం కోసం తయారు చేయబడింది.
దాన్ని ఏపీ రూపంలో చూశాం.
ఫార్ములా సహాయంతో మేము త్వరగా మొత్తాన్ని పొందాము.
సరే? కాబట్టి, బేసిక్ గా ఏపీలో ఇది ఉంది.
ఇప్పుడు, మేము ప్రధానంగా దాని ప్రశ్నలను ప్రాక్టీస్ చేస్తాము.
కాబట్టి, తరువాతి ప్రశ్న చూద్దాం.
ఇప్పుడు ఏపీలో మీరు పొందవచ్చునప్పుడు పద సమస్యల రూపంలో వచ్చే
ప్రశ్నలు ప్రధానంగా వస్తాయి.
కానీ, అది ఏపీ అని చెప్పలేం.
చదివి చెప్పొచ్చు కానీ ఏపీ, కోమా రూపంలో చూడలేం.
కాబట్టి, మొదటి ప్రశ్న చూద్దాం.
దానిని చదవండి.
ఒక AP యొక్క మొదటి, రెండవ మరియు చివరి టర్మ్స్ వరుసగా 15, 19
మరియు 111 ఉన్నాయి.
ముందుగా మనం ప్రారంభ లైన్ నుండి చదివిన డేటాను వ్రాయండి.
కాబట్టి, మొదటి టర్మ్ ఏమిటి? 15.
కాబట్టి, నేను ఎ 1 ను 15 గా రాయవచ్చా?
ఒకవేళ రెండో టర్మ్ 19 అయితే, నేను A2ని 19గా రాయవచ్చా?
ఇప్పుడు చివరి టర్మ్ 111.
కాబట్టి, చివరి పదాన్ని AN గా సూచించడం వల్ల ఫలితం ఏమిటి?
ఎన్ అంటే ఏమిటో మనకు తెలియదు.
కాబట్టి, దానిని AN గా సూచించండి.
111 ఫలితం ఏమిటి?
మేము మా చివరి పదాన్ని AN గా సూచించాము.
ఇప్పుడు, ఏపీలోని మొత్తం పదాల సంఖ్యను కనుగొనండి.
ఏపీలో మొత్తం 15 నుంచి 111 వరకు ఎన్ని పదాలు ఉన్నాయో చెప్పాలి.
కాబట్టి, ప్రాథమికంగా, మీరు N యొక్క విలువను కనుగొనాలి.
మీరు దానిని కనుగొనవచ్చు.
చివరి ప్రశ్నలో, మొత్తం కొరకు మనం N ని కనుగొన్నాము.
అప్పుడు, మేము మొత్తం యొక్క ఫార్ములాలోకి వెళ్ళాము.
కాబట్టి, ఇది ఒక అడుగు వెనుకబడి ఉంది.
ఇందులో మనం N మాత్రమే కనుగొనాలి.
కాబట్టి, మనం N ని ఎలా కనుగొంటాము?
మొదటి పదం A1 యొక్క విలువం మీకు తెలియచేయబడింది.
కాబట్టి, మొదటి మరియు రెండవ టర్మ్ లు రెండూ వరుసగా ఉన్నాయి.
వాటి వ్యత్యాసం నుంచి మీరు Dని కనుగొంటారు.
కాబట్టి, D 19 మైనస్ 15 కు సమానం.
కాబట్టి, D అనేది A2 మైనస్ A1కు సమానం అవుతుంది.
అంటే 19 మైనస్ 15 అంటే 4కు సమానం.
ఈ ప్రశ్నలో D యొక్క విలువ కూడా 4.
సరే? ఎన్టీహెచ్ టర్మ్ 111.
కాబట్టి, మీరు NTH పదం యొక్క ఫార్ములాను ఉపయోగించవచ్చు.
దీని ఫార్ములా ఏమిటి?
A ప్లస్ N మైనస్ 1 D అనేది 111కు సమానం.
ఎందుకంటే, అది ఇచ్చిన విలువ.
కాబట్టి, D యొక్క విలువను 4 గా ఉంచండి.
A యొక్క విలువ 15 ప్లస్ N మైనస్ 1 నుంచి 4 గా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు అది పరిష్కారమైంది.
ఇప్పుడు, ఇది ప్రాథమికమైనది.
ఇక్కడ 15 మైనస్ పెట్టండి.
ఇంతకీ ఇది ఎలా ఉండబోతోంది? 111 మైనస్ 15.
అంటే ఇది 96 అవుతుంది.
ఇది 96 అవుతుంది.
దీనిని 4 గా విభజించండి.
కాబట్టి, 4 ద్వారా విభజించడం N మైనస్ 1 కు సమానం.
2 ద్వారా విభజించండి.
16 అంటే 24కు సమానం.
ఇది ఎన్ మైనస్ 1కు సమానం.
N యొక్క విలువ ఎంత?
మైనస్ 1 ఇక్కడ ఉంది.
ప్లస్ 1 ఇక్కడ ఉంది.
అంటే 25 అవుతుంది.
ఈ క్రమంలో మొత్తం పదాల సంఖ్య ఎంత? 25.
దీన్ని పరిష్కరించడానికి కొంత సమయం పట్టింది.
ఎక్కువ సమయం లేదు.
అందుకు కాస్త సమయం పట్టింది.
నేను ఇక్కడ బోర్డును నింపాను.
కానీ, మీరు చూసినంత త్వరగా కాల్పున్నారా లెక్కలు వేస్తున్నారు?
మరియు, ఇది చాలా కఠినమైనది కాదు.
ఒకే ఒక ఫార్ములా ఉంది.
మా దగ్గర ఒక ఫార్ములా ఉంది.
అది పెద్ద కష్టమేమీ కాదు.
దాని ఆధారంగానే పెంచుతున్నాం.
సరే? ఈ ప్రశ్నను కూడా చేశాం.
తర్వాతిదేంటో చూద్దాం.
తరువాత, చూడండి.
ఏపీకి మూడోసారి..
ఏది ఇచ్చినా రాస్తూనే ఉండండి.
ఏపీకి మూడోసారి..
మీకు ఏ3 ఇస్తారు.
25.
ఇక, పదో టర్మ్.
మీకు ఏ10 ఇస్తారు.
మైనస్ 3.
మొదటి పదం మరియు సాధారణ వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
మీరు A యొక్క విలువను తెలుసుకోవాలి.
మరియు, మీరు D యొక్క విలువను తెలుసుకోవాలి.
ఇప్పటి వరకు మీరు ఏ ప్రశ్న వేసినా..
మేము ఇప్పుడు చేసిన ఉదాహరణ.
వాటన్నిటిలోనూ మీకు A యొక్క విలువ ఇవ్వబడింది.
మొదటి టర్మ్ నుంచే ఇచ్చారు.
అయితే, ఈ ప్రశ్నలో ఏముంది?
ఏ3, 10 ఇస్తారు.
A10.
ఒక విలువ ఇవ్వబడదు.
కాబట్టి, A యొక్క విలువను మీరు ఏవిధంగా కనుగొంటారు?
A యొక్క విలువ తరువాత, మీరు D యొక్క విలువను తెలుసుకోవాలి.
సో, చూద్దాం.
దీనిలో మీరు ఏమి ఉపయోగిస్తారు?
చూడండి, ఆ మొత్తాన్ని ఇంతవరకు ఉపయోగించలేదు.
కాబట్టి, మనం మొత్తం అనే ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాం.
కాదు.
ఇక మిగిలింది ఒకే ఒక ఫార్ములా.
AN యొక్క ఫార్ములా.
కాబట్టి, AN యొక్క ఫార్ములా.
పక్కన, కాపీలో రాయండి.
AN అనేది A ప్లస్ N మైనస్ 1 Dకు సమానం.
మేము రాశాం.
ఇప్పుడు, తరువాత.
తర్వాత విషయం.
మీకు ఇచ్చిన విలువలు.
ఉదాహరణకు, ఇది 3 కోసం ఇవ్వబడింది.
ఇది 10 మందికి ఇస్తారు.
కాబట్టి, ఒకసారి మీరు N ని 3 గా ఉంచండి.
అప్పుడు ఏ3 ఫార్ములా వస్తుంది.
ఏ3 ఫార్ములా రాగానే..
దీని విలువ 25.
కాబట్టి, దాన్ని ఉంచండి.
కాబట్టి, అక్కడి నుండి, ఒక సమీకరణం ఏర్పడుతుంది.
ఏ10 సాయంతో రెండో సమీకరణం ఏర్పడుతుంది.
అవును? నేను మీకు చెప్పుకున్నాను, వీరే చేయండి. అవును?
కాబట్టి, మేము ఏమి చేస్తాము?
మొదట, మనం N ని 3కు సమానం చేస్తున్నాం.
N ని మనం ఎక్కడ ఉంచుతున్నాం N అనేది 3కి సమానం?
మన రాంబాద్ ఫార్ములాలో.
మెయిన్ ఫార్ములాలో..
కాబట్టి, మేము N కు బదులుగా 3 ఉంచాము.
కాబట్టి, ఏమి ఏర్పడుతుంది?
A3 అనేది A ప్లస్ N మైనస్ 1కు సమానం.
N అంటే 3.
కాబట్టి, 3 మైనస్ 1 2 నుండి D అవుతుంది.
కాబట్టి, మీకు ఎ ప్లస్ 2 డి 25 కు సమానం.
దీని విలువ 25.
కాబట్టి, మీకు ఒక సమీకరణం ఉంది.
ఇప్పుడు A10 సహాయంతో రెండవ సమీకరణం ఏర్పడబడుతుంది.
కాబట్టి, మేము ఎన్ ను ఉంచుతాము.
మనం N ని ఏమి ఉంచుతాము?
మేము ఎన్ ని ఉంచుతున్నాము.
వేరే పెన్నుతో చేద్దాం.
కాబట్టి కొంత వ్యత్యాసం ఉంటుంది.
కాబట్టి, మేము ఎన్ ను ఉంచాము.
క్షమించండి, ఇది 3 కాదు.
ఈసారి ఎన్ ను ఉంచుతాం.
10 మనం N ని 10 గా పెట్టిన వెంటనే.
కాబట్టి, Nకు బదులుగా, A10 ఏర్పడుతుంది.
ఇప్పుడు, మాకు A యొక్క విలువ తెలియదు.
కాబట్టి, ఎ ప్లస్ ఎన్ మైనస్ 1.
10 మైనస్ 1 అంటే డి.
10 మైనస్ 1 అంటే 9.
కాబట్టి, ఎ ప్లస్ 9 అంటే డి.
మరి ఏ10 విలువ ఎంత?
మైనస్ 3.
ఇంతకీ మీ దగ్గర ఏముంది?
రెండో సమీకరణం ఏర్పడుతుంది.
ఇప్పుడు, మీకు రెండు వేరియబుల్స్ మరియు రెండు సమీకరణాలు
ఉన్నాయి.
మీరు వాటిని పరిష్కరించగలరా?
అవును మీరు చేయగలరు.
మీరు ఏమి చేయాలి?
మొదటి మరియు రెండవ వాటిని తీసివేయండి.
మీరు ఏమి చేయాలి?
తీసివేయు.
ఇక్కడ తీసివేయడం ద్వారా మీకు చెబుతాను.
ఒక ప్లస్ 2D 25కు సమానం.
ఎ ప్లస్ 9డి మైనస్ 3కి సమానం.
వాటిని తీసివేయండి.
మీరు మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేసిన తర్వాత, రెండవ సమీకరణం
యొక్క సైన్ మారుతుంది.
ప్లస్ ఉన్న చోట మైనస్ ఉంటుంది.
మైనస్ ఉన్న చోట ప్లస్ ఉంటుంది.
కాబట్టి, A మైనస్ A అనేది 0.
2డి మైనస్ 9డి అంటే మైనస్ 7డి.
25 అంటే మైనస్ 3కి సమానం.
కానీ రెండో సమీకరణం సంకేతం మారుతుంది.
25 ప్లస్ 3 అంటే 28కి సమానం.
కాబట్టి, D యొక్క విలువ ఎంతదుగా ఉంది? 28 ని మైనస్ 7 తో
భాగించినప్పుడు మైనస్ 4 కంటే సమానం.
మునుపటి సమీకరణంలో, D అనేది 4, 4, 4.
కానీ ఈ సమీకరణంలో అది మైనస్ 4.
ఇది 4.
కానీ సమీకరణాలన్నీ 4.
కానీ డి ప్రతికూల సంకేతంలో ఉంది.
అంటే సీక్వెన్స్ ల సంఖ్య తగ్గిపోతోందని అర్థం.
మొదట ఏ3 25.
ఆ తర్వాత ఏ10కి పడిపోయింది.
సీక్వెన్స్ ల సంఖ్య నెగిటివ్ గా ఉంది.
అంటే డి నెగెటివ్ గా ఉండాలి.
కాబట్టి, డి మైనస్ 4.
ఇప్పుడు, D ఇక్కడ ఉన్నాడు.
కాబట్టి, ఈ సమీకరణాలలో దేనిలోనైనా D యొక్క విలువను ఉంచండి.
మీరు A యొక్క విలువను పొందుతారు.
ఈ సమీకరణంలో చేస్తాను.
ఈ సమీకరణంలో మీరు దీన్ని చేయవచ్చు.
మొదటి సమీకరణంలో, 25 అనేది A ప్లస్ 2 నుంచి D మైనస్ 4కు సమానం.
కాబట్టి, D అనేది మైనస్ 8కి సమానం.
A అనేది మైనస్ 8కి సమానం.
ఇప్పుడు, 25 తో మైనస్ 8 తీసుకోండి.
25 ప్లస్ 8 అంటే 33కు సమానం.
కాబట్టి, A యొక్క విలువ 33.
ఈ క్రమం యొక్క మొదటి పదం 33.
A2 యొక్క విలువ ఎంత?
33 నుండి, మీరు D ని జోడిస్తారు.
ఇది ప్రతికూల సంకేతం.
కాబట్టి, మీరు దానిని తీసివేయాల్సి ఉంటుంది.
33 నుంచి డి విలువ మైనస్ 4.
కాబట్టి, ఈ క్రమం యొక్క రెండవ పదం 29.
అప్పుడు, 29 నుండి, మీరు 4 తీసివేస్తారు.
కాబట్టి, ఈ క్రమం యొక్క మూడవ పదం 25.
ప్రశ్నలో మీకు 25 ఇచ్చారు.
కాబట్టి, ఈ సమాధానం ధృవీకరించబడింది.
పరీక్షలో దాన్ని వెరిఫై చేయాల్సిన అవసరం లేదు.
ఇప్పుడే చెబుతున్నాను.
సరే? కాబట్టి, మేము ఈ ప్రశ్నను కూడా చేసాము.
అందులో మాకు మొదటి టర్మ్ మరియు ఇతర కొన్ని టర్మ్స్ ఇవ్వబడినవి.
ఈ రెండు వేరియబుల్స్ సహాయంతో మేము మొదటి పదం మరియు సాధారణ
వ్యత్యాసంను కనుగొన్నాము.
ఇప్పుడు మీరు A మరియు D రెండు విషయాలను కనుగొనడానికి కనీసం
రెండు సమాధానాలు అవసరం, అవి ఉపయోగించి రెండు సమీకరణాలను
సృష్టించవచ్చు.
కారణం మీరు రెండు వేరియబుల్స్ కనుగొనాలి, కాదా? ఇది మీకు
కొన్ని సూచనలను ఇస్తుంది, దీని సహాయంతో A మరియు D రెండూ
ఒకేసారి పరిష్కరించబడతాయి.
కాబట్టి, తదుపరి ప్రశ్నకు వెళ్లండి.
తర్వాతి ప్రశ్న కూడా అదేనా?
అవును, అదే.
తదుపరి ప్రశ్న.
200 మరియు 400 మధ్య ఉన్న అన్ని సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనండి,
అవి 7 ద్వారా విభజించబడతాయి.
200 నుండి 400 మధ్య ఉన్న అన్ని సంఖ్యల మొత్తాన్ని మనం
కనుగొనాలి, వీటిని 7 తో విభజించవచ్చు.
ఇప్పుడు, మీరు దీనిలో కొంచెం అదనపు పని చేయాలి.
మీ మెదడు మరియు కామన్ సెన్స్ ఉపయోగించాలి.
ప్రాథమికంగా, మీరు ఆ సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనాలి.
To find the sum, obviously, which formula will you use?
మీరు మొత్తం అనే ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తారు.
మీకు Sn ఉంది.
మీరు మొత్తాన్ని చూసిన వెంటనే Sn యొక్క ఫార్ములాను రాయండి.
స్న్ అంటే ఏమిటి? n బై 2?
అది ప్లస్ ఎల్ లేదా ప్లస్ ఎన్ మైనస్ 1 డి కావచ్చు.
రెండు ఫార్ములాలు రాయండి.
రెండు ఫార్ములాలు ఒకవైపు రాశాను.
ఇప్పుడు, మీరు ఏ రకమైన సంఖ్యలను కనుగొనాలి?
200 నుండి 400 మధ్య ఉన్న సంఖ్యలు.
మధ్యలో రావాల్సిన అంకెలు 7కు భాగంగా వుండాలి.
కాబట్టి, 7 ద్వారా విభజించబడిన అన్ని సంఖ్యలను మనం కనుగొనాలా?
200 నుంచి 400 మధ్య ఉంటుంది.
అప్పుడు ఆ సంఖ్యల మొత్తాన్ని తెలుసుకుందాం.
కాదు.
మనకు కావలసింది n, a, l మరియు చివరి టర్మ్ ల సంఖ్య.
మరి దీన్ని ఎలా చేయాలి?
మీరు మొదటి పదాన్ని కనుగొనగలరా?
మొదటి టర్మ్ ను 200గా, ఎల్ ను 400గా తీసుకుంటారా?
మీరు మొదటి టర్మ్ ను 200 గా తీసుకోరు.
కారణం మధ్యలో వచ్చకుండా ఉండాల్సిన పదాలు 7తో విభజించడం కారణం.
మరియు 200 7 తో విభజించబడదు.
కాబట్టి, 200 తర్వాత ఆ సంఖ్యను కనుగొంటాం.
201.
201ని 7తో విభజిస్తారా?
201 చూడండి.
201ను 7గా విభజించారు.
సో, 14.
ఇంకా ఎన్ని మిగిలాయి? 61.
61 లేదు.
కాబట్టి, 201 కూడా లేదు.
మీరు 202 ను పరిశీలిస్తే, ఇది కూడా 7 తో విభజించబడదు.
ఎందుకంటే 62 లేదు.
203 చూడండి.
203ను 7తో విభజిస్తారు.
కాబట్టి, 7 సార్లు 2 అంటే 14.
మిగిలినవి 6.
సో, 63.
7 పట్టికలో 63 వస్తుందా? 9 సార్లు 9 అంటే 9.
కాబట్టి, 203 ను 7 తో విభజిస్తారు.
కాబట్టి, మొదటి సంఖ్య 203 అవుతుంది.
మాకు మొదటి నంబర్ వచ్చింది.
మిగిలినవి మొదటి టర్మ్ నుంచి వస్తాయి.
కాబట్టి, 7 మీ ఎ1.
ఇప్పుడు, 7 పట్టికలో ఏమి ఉండాలి?
7 పట్టికలో ఎంతమంది ఉంటారు? 7.
అయితే, రెండో టర్మ్ ఎలా ఉండబోతోంది? 7 ప్లస్ 7.
అంటే 210 అవుతుంది.
అప్పుడు 3వ టర్మ్ 7 ప్లస్ 7 అవుతుంది.
అంటే 217 అవుతుంది.
అప్పుడు 7 ప్లస్ 7 217 అవుతుంది.
మొదలైనవి.
చివరి టర్మ్ ఎందుకు ఉంది తెలుసుకోవచ్చా? మొదటి టర్మ్ లో
చేసినంత అనుకుంటున్నాము.
చివరి టర్మ్ లోనూ అదే చేస్తాం.
400 నుంచి 7 మధ్య ఉండాలి.
కాబట్టి, ముందుగా 400 చెక్ చేద్దాం.
దీనిని 7తో విభజిస్తారా?
కాబట్టి, 400 చెక్ చేయండి.
మీరు 400 ను 7 తో విభజిస్తే, మీకు 35 వస్తాయి.
అప్పుడు మీకు 50 రావు.
కాబట్టి, మీరు 400 ను 7 తో విభజిస్తే, మీకు 399 వస్తాయి.
3999.
క్షమించండి, ఇది మూడు కాదు. ఇది రెట్టింపు 9.
అంటే మీకు 35 వస్తాయి.
ఇంకా ఎంత మిగిలి ఉంది? 4.
అంటే 49 వస్తాయి.
కాబట్టి, మేము దానిని పూర్తిగా విభజించాము.
మాకు 47 నుండి 0 మిగిలినవి లభించాయి.
అంటే 399 అవుతుంది.
చివరి సంఖ్య 200 నుంచి 400 మధ్య ఉంటుంది.
దీనిని 7 తో విభజిస్తారు.
కాబట్టి, చివరి సంఖ్య 399.
మీకు ఎ ఉంది.
మరియు మీకు ఎల్ ఉంది.
మీకు ఏమి కావాలి?
మీకు N యొక్క ఆవశ్యకత ఉంది.
మొత్తం అనే ఫార్ములాను ఉపయోగించే హక్కు మీకు ఉంది.
మొత్తం అనే ఫార్ములాను ఉపయోగించడం చెల్లుబాటు అవుతుంది.
కాబట్టి, మనం N ని ఎలా పొందుతాము?
మనకు చివరి టర్మ్ వచ్చిన వెంటనే, మనం N పొందవచ్చు.
మీరు N ని ఎలా పొందుతారు?
గత టర్మ్ ఫార్ములా ఏఎన్.
AN అనేది A ప్లస్ N మైనస్ 1Dకు సమానం.
ఇది రెండో రామ్ బంధన్ ఫార్ములా.
మొదటి ఫార్ములా రెండవ మొత్తం.
కాబట్టి, మీరు చివరి టర్మ్ AN పొందుతున్నారు.
కాబట్టి, 399 అనేది 203 ప్లస్ N మైనస్ 1 కు సమానం.
మీరు N యొక్క విలువను తెలుసుకోవాలి.
D యొక్క విలువ 203.
ఇప్పుడేం చేస్తావు?
క్షమించండి, D యొక్క విలువ 203 కాదు.
D యొక్క విలువ ఎంత? 7.
7.
ఇప్పుడు, మీకు N మరియు 1 సమీకరణం ఉంది.
N యొక్క విలువను కనుగొనండి.
మైనస్ 203.
మీరు ఏమి పొందుతారు? 6.
9.
196 అనేది N మైనస్ 1Dకు సమానం.
7 ఇక్కడ ఉంది.
విభజించండి 7.
మీరు ఏమి పొందుతారు? 7 సార్లు 7 అంటే 14కు సమానం.
2 సార్లు 14 అంటే 56కు సమానం.
56 అంటే 28కి సమానం.
N యొక్క విలువ ఎంత?
ప్లస్ 1 తీసుకోండి.
N యొక్క విలువ 29.
కాబట్టి, 200 నుండి 400 వరకు 7 ద్వారా విభజించగలిగే మొత్తం
పదాలు 29 ఉన్నాయి.
మొదటి టర్మ్ 203 నుంచి ప్రారంభమై 399 వరకు ఉంటుంది.
కాబట్టి, మొత్తం సూత్రంలో, Sn యొక్క సూత్రంలో, N యొక్క విలువ
29 కలిగి ఉంది.
మొదటి టర్మ్ 203.
చివరి టర్మ్ 399.
వీటిని జోడించి విభజించండి.
9 ప్లస్ 2 ఏమవుతుంది? 9 ప్లస్ 3 అనేది 12కు సమానం.
1.
0.
1.
602ను 2 తో విభజించడం 29కి సమానం.
2ను 2 ద్వారా విభజించండి.
301.
మీరు చేయాల్సిందల్లా ఇంతే.
ఇంట్లోనే త్వరగా చేయండి.
ఇంట్లో కాదు, ఇప్పుడే చేయండి.
మీరు మొత్తం యొక్క ఫార్ములాను పొందుతారు.
ఒక క్షణం ఆగండి.
మీరు గుణకం చేశారని నేను ఆశిస్తున్నాను.
తర్వాతి ప్రశ్నకు వెళ్దాం.
తర్వాత ముందుకు వెళ్లాలి కానీ మొదలైన ఒక విషయం చెప్పాను.
ఇప్పుడు మనం చేస్తున్న సముదాయ సూత్రం పూర్తి చేస్తే, మీరు
మొదటి మరియు సహజ సంఖ్యల మొత్తం యొక్క సూత్రాన్ని పొందవచ్చు.
మీరు ఏమి పొందుతారు?
మొదటి మరియు సహజ సంఖ్యల మొత్తం.
సహజ సంఖ్యలను చూడటం ద్వారా, మేము వివరణకు వెళ్లవద్దు.
అది అవసరం లేదు.
మీరు MCQ ఎందుకు చేయాలి?
ఉత్పన్నం రెండు దశల్లో ఉంటుంది.
పెద్దగా ఏమీ లేదు.
మొదటి మరియు సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని చూద్దాం.
మీరు సహజ సంఖ్యలను చూడటానికి, మొదటి మరియు సహజ సంఖ్యలు అర్థం
అయ్యేవి కాదు. అవి సహజ సంఖ్యలతో ప్రారంభమవుతాయి.
మొదటి సహజ సంఖ్య 1.
అప్పుడు 2, 3, 4 వస్తాయి మరియు మీరు ఎంత దూరం వెళ్ళాలి? ఎన్
వరకు.
మేము ఎన్ వరకు వెళ్ళాము.
ఇప్పుడు మీరు ఒక విషయం చూస్తారు.
గ్యాప్ చూడండి.
ఆ గ్యాప్ ప్లస్ 1.
ఇక్కడ ప్లస్ 1 చేస్తే ప్లస్ 1 వస్తుంది.
ఇంతకీ ఆ గ్యాప్ ఎక్కడుంది?
అది ఏపీలో ఉంది.
ఎందుకంటే గ్యాప్ స్థిరంగా ఉంటుంది.
వరుసగా ప్రతి టర్మ్ లోనూ ఇదే పరిస్థితి.
కాబట్టి ఏపీ నిబంధనలు ఇవే..
ఇప్పుడు వాటి మొత్తాన్ని కనుక్కోవాలి.
వాటి మొత్తం ఎంత?
ఫార్ములా గుర్తుంచుకోండి.
మేము ఎన్ తీసుకుంటాము.
చివరి టర్మ్ కు 1 జతచేస్తాం.
n ప్లస్ 1.
చివరి టర్మ్ కు 1 జోడించండి.
2 ద్వారా విభజించండి.
n నుండి n ప్లస్ 1.
2 ద్వారా విభజించండి.
దీన్నే సమ్మేషన్ ఎన్ అని కూడా అంటారు.
సమ్మేళనం అంటే ప్లస్ అని అర్థం.
ఇది ఒక సూచిక.
మొదటిది, n యొక్క విలువ.
ఐ నుండి ఎన్ వరకు.
మీరు i యొక్క విలువకు 1 జోడించినట్లయితే.
ఒకవేళ మీరు n యొక్క విలువకు 1 జోడించినట్లయితే.
క్షమించండి.
n యొక్క విలువ ఎంత?
1 నుండి n వరకు.
సంక్షిప్తం ఎన్.
మొదట, 1 జోడించండి.
రెండవది, 2 జోడించండి.
తరువాత, 1 ప్లస్ 2 ప్లస్ 3 ప్లస్ 4 జోడించండి.
ఇది మీ మొత్తం.
ఆ మొత్తాన్ని కనుక్కోవాలి.
From 1 to n, add 1 plus 2 plus 3 plus 4. To find the sum of
all these terms, you can use the formula for summation n,
which is n multiplied by n plus 1 divided by 2.
ఇది మొదటి మరియు సహజ సంఖ్య యొక్క మొత్తం.
Suppose you are asked to find the sum of 1 plus 2 plus 3 up
to 50.
మరి మీరేం చేస్తారు?
నిబంధనలు ఎంత దూరం వెళ్తున్నాయి?
మీరు 50 బై 2 నుండి 51 పొందుతారు.
కాబట్టి 50 ని 51 గా 2 ద్వారా 25 గా విభజిస్తారు.
ఈటి 1 నుండి 50 వరకు అన్ని సంఖ్యల యొక్క మొత్తం అవుతుంది.
ఇది అదనంగా ఉంది.
నేను మీకు ఈ విషయం చెప్పాలనుకున్నాను.
తర్వాత ముందుకెళ్దాం.
ఇంకా ఎన్ని ప్రశ్నలు మిగిలి ఉన్నాయో చూద్దాం.
ఇప్పుడు మీకు 4 ప్రశ్నలు ఉన్నాయి.
దీన్ని చూద్దాం.
ఈ 4 ప్రశ్నలను మనం తర్వాతి వీడియోలో చూద్దాం.
ఎందుకంటే ఈ వీడియో ఇప్పటికే చాలా నిడివిగా ఉంది.
అప్పుడు మీరు దానిని అంత త్వరగా మీ మనస్సులో ఉంచుకోలేరు.
కాబట్టి తరువాతి వీడియోలో, మనం మిగిలిన ప్రశ్నలను చేస్తాము.
ఇంకొన్ని చేర్పులు చేద్దాం.
ఇంకొన్ని ఫార్ములాలు చూద్దాం.
సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని మనం చూశాం.
కాబట్టి వాటి చతురస్రం మొత్తాన్ని కూడా మనం చేయవచ్చు.
అది తర్వాతి వీడియోలో చూద్దాం.
అప్పటి వరకు ఏం చేయాలి?
ఈ రెండు ఫార్ములాలను పునఃసమీక్షించండి.
ఎందుకంటే ఇవి లేకపోతే ఏపీ చేయలేం.
మరియు మీ వైపు నుండి ఉదాహరణను అర్థం చేసుకోండి.
వీడియో చూసినందుకు ధన్యవాదాలు.
తర్వాతి వీడియోలో కలుద్దాం.
కాదు నేను చేయలేదు.
ఇది దేని గురించి?
ఇది ఆసక్తికరంగా అనిపిస్తుంది.
నన్ను లెక్కించండి.
నాకు తెలిసిన వారందరికీ ఈ పదాన్ని వ్యాప్తి చేసేలా చూస్తాను.