બધાને નમસ્તે, નવી વિડિઓ પર તમારું સ્વાગત છે.
હાલના વીડિયોમાં, અમે ઇન્ડેક્સ અને સર્ડ્સ કરવા જઈ રહ્યા છીએ.
સૂચકાંકો અને અનુમાનો શું છે?
સૌ પ્રથમ, જો આપણી પાસે સંખ્યા 2 વત્તા 2 વત્તા 2 વત્તા 2
વત્તા 2 હોય.
૨ વત્તા ૨ વત્તા ૨ વત્તા ૨.
મેં ચાર વખત 2 ઉમેર્યા છે.
તો, આપણે બીજું શું લખી શકીએ?
જો આપણે 4 ને 2 લખીએ, તો આપણને તે જ જવાબ મળશે.
જો આપણે કોઈ વસ્તુને તેની બાર કરીને ગુણાકાર કરીએ, તો એકસમાન
જવાબ મળશે.
સમાન રીતે, જો આપણે કોઈ એક નંબરને તેની સંખ્યા વડે તેની
સંખ્યા જ જ વખત ગુણાંકણ કરીએ તો, આપણે ૨ થી ૨ માં ૨ થી ૨ મળશે.
આ વિષયમાં, 2 ને ચાર વાર ઉમેર્યા છે, તેથી 4 અને 2 ને ગુણાંકણ
કરીને જવાબ મેળવીએ.
પરંતુ, આપણે તેની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરી રહ્યા છીએ.
આથી, આપણે ૪ થી ૨ લખીશું.
તેનો અર્થ શું છે?
આનો અર્થ એ કે અમે ૨ને તેની સંખ્યા વધારે ગુણાંકિત કરીએ છીએ.
એ જ રીતે, જો આપણી પાસે કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા હોય,
2 એ આ સંખ્યાનો આધાર છે.
4 એ આ સંખ્યાનો અનુક્રમણિકા છે.
આ સંખ્યાનું પાવર આ સંખ્યાનું ઇન્ડેક્સ હશે.
આ નંબરનો પાવર આ નંબરની ઘાટ હશે.
શું તમે આ સમજી ગયા?
જો આપણે આને સામાન્ય બનાવીએ, એટલે કે, જો આપણી પાસે કોઈ
સંખ્યા હોય, તે કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે. સમજ પડી ગઈ?
તે કુદરતી સંખ્યા, અપૂર્ણાંક સંખ્યા અથવા અન્ય કોઈ સંખ્યા હોઈ
શકે છે.
તેથી, આપણે a ને a માં ગુણાકાર કરીએ.
આપણે a ને તેની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
આપણે a ને તેની સંખ્યા વડે પોતાની પોતાની વખતો ગુણાકાર કરીએ,
તો a ને પાવર n ને લખી શકીએ.
અહીં, આધાર શું છે?
આધાર a છે અને અનુક્રમણિકા n છે.
એન એ શક્તિ છે.
એટલે, આપણે તેને 'અ' કહીશું.
તેથી, સંખ્યાનો અનુક્રમણ અને સુર્ધોના વિષયમાં, પ્રથમ સુર્ધ એ
છે.
હવે, આના કેટલાક ગુણધર્મો છે.
જો અમે શક્તિના સ્વરૂપમાં સંખ્યાઓને ગુણાકાર કરીએ તો તેમની
ગુણધર્મો શું છે?
તો, તમે તે લખો.
માની લો કે આપણી પાસે પાવર એન માં એક પાવર m છે.
આ m અને n સમાન અથવા અલગ હોઈ શકે છે.
પરંતુ આધાર એ શું હોવો જોઈએ?
એ પણ એવું જ હોવું જોઈએ.
તો, શું થશે?
જો આપણે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરીએ તો તેની ઘાતાંક કેટલી હશે?
અમને સત્તા મળશે.
અમને ઉમેરો મળશે.
જો સંખ્યાઓને તેની શક્તિ સાથે ગુણાકાર કરી રહ્યા હોય, તો
શક્તિઓ કેવી રીતે હશે?
જો આપણે સંખ્યાઓને તેમની શક્તિ સાથે ગુણાકાર કરીએ તો તેની
શક્તિઓ શું થશે?
અમને સત્તા મળશે.
અમને ઉમેરો મળશે.
ધારો કે, જો અમારી પાસે એ પાવર ૨ અને એ પાવર ૩ હોય તો.
જો હું તેને વિસ્તૃત કરું, તો આપણે તેને પાવર ૨ ને ૨ થી ૨ ૨
અને પાવર ૩ ને ૨ લખી શકીએ છીએ.
૨ થી ૨ થી ૨
હવે, 5 2 ના શું છે?
તેઓ એકબીજાને ગુણાકાર કરી રહ્યા છે.
તેથી, આપણે તેમને પાવર 5 માં 2 તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હમ જે કર રહી છીએ તે એ છે કે સમાન સંખ્યાને સમાન શક્તિથી
ગુણાકાર કરી રહ્યા છીએ.
તેથી, આપણે તેને પાવર 5 ને 2 તરીકે લખી શકીએ છીએ.
જો અમે ગિવાલી ગુણધર્મ અને નિયમ લાગુ કરીએ તો પછીથી શું થશે?
તે એક જ આધાર છે.
બેઝ એક જ છે.
તેથી, બંને પાયા સમાન છે.
તો, આપણે શું કરવું જોઈએ?
આપણે શક્તિઓ ઉમેરવી જોઈએ.
તેથી, પાવરમાં 2 વત્તા 3 ઉમેરવામાં આવશે.
તો, જવાબ શું છે? 2 વત્તા 3 એ 5 છે.
તેથી, પાવર 5 માટે 2.
તેથી, અમને આ મિલકતમાંથી સમાન જવાબ મળ્યો.
અને આપણે વિસ્તરણના રૂપમાં જે જવાબ લખ્યો છે તે પણ 2 ના પાવર
5 માં છે.
તો, આ પ્રોપર્ટી નંબર 1 છે.
જ્યારે આધાર સમાન હોય પરંતુ શક્તિ સમાન હોવી શકે.
જો તે સમાન હશે, તો પછી શું થશે?
તે એન પ્લસ એન હશે.
અને તે અલગ પણ હોઈ શકે છે.
તે સવાલ પર છે.
પરંતુ જો તે ગુણાકારમાં હોય તો શક્તિ શું થશે?
શક્તિનો ઉમેરો થશે.
તો, ચાલો જોઈએ કે હવે પછીની મિલકત શું છે?
ધારો કે, આપણે જોઈએ કે આધાર સમાન હતો અને તે સમાન હતો.
ધારો કે, આ વખતે આધાર એક સરખો નથી પણ સૂચકાંકો એકજ છે.
એનો અર્થ એ થયો કે શક્તિઓ એકસરખી જ છે.
ધારો કે, આપણી પાસે એક નંબર હોય છે જેનું પાવર m છે અને બીજું
નંબર b નું પાવર n છે.
b એ પાવર સુધી વધારવામાં આવે છે
માફ કરશો, શક્તિઓ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી, આપણે એમ પણ લખીશું.
બંનેની શક્તિ શું છે?
એ જ સંખ્યા છે.
તે 'અ'ની શક્તિમાં છે અને 'બ'ની શક્તિમાં છે.
તો, આપણે આ કેવી રીતે કરી શકીએ?
આપણે આ લખી શકીએ છીએ.
આપણે તે બંને માટે શું કરી શકીએ?
આપણે શક્તિને સામાન્ય રીતે લઈ શકીએ છીએ.
આપણે કોમનને કેવી રીતે લઈ શકીએ?
સામાન્ય રીતે, પહેલા આપણે a માં a માં લખી શકીએ છીએ અને આપણે
તે બંને માટે શું કરી શકીએ?
આપણે બંનેની આખી શક્તિ લખી શકીએ છીએ.
જો બન્નેની શક્તિઓ સમાન હોય, જો શક્તિઓ સમાન હોય તો,
તો પછી આપણે આ કરી શકીએ.
જ્યારે બંનેની શક્તિઓ એકસરખી હોય ત્યારે આપણે આ કરી શકતા નથી.
જ્યારે બન્નેના પાયા એક સરખા હોય છે.
આ એની જ તાકાત છે.
ચાલો આપણે આનું એક ઉદાહરણ જોઈએ.
સમજો કે, આ 4નો પાવર 3 છે જે 7ના પાવરમાં 3 છે. હવે, આપણે આને
4 ઘન તરીકે 7 ઘનમાં બહાર કાઢી શકીએ.
અમે આને અલગથી બહાર કાઢી શકીએ છીએ
અથવા અમે તેને સીધા 4 અને 7 લખી શકીએ અને તેની પૂર્ણ શક્તિ
માટે અમે શું કરી શકીએ તે જુઓ?
આપણે તેને આખા ઘન તરીકે લખી શકીએ.
તો, આપણને શું મળશે?
આપણને પણ એ જ જવાબ મળશે.
બંનેનો જવાબ એક જ હશે.
હવે, આ એ જ શક્તિ છે.
હવે પછીની વિશેષતા એ છે કે જો અમારી સાથે વિભાજન હોય તો પાવર
હશે,
આ મતલબ છે કે છેદમાં પાવર m હોય તો અમારી પાસે 1 છે.
૧ ઓન અ પાવર એમ.
તો, આપણે તેને કયા સ્વરૂપમાં લખી શકીએ?
આપણે તેને આ રીતે પણ લખી શકીએ છીએ.
જો પાવર છેદમાં હોય તો અંશમાં પાવર લખવું જ જોઈએ છે.
તો, શું થાય છે?
જો શક્તિ નિમિષમાં હોય, તો આપણે તેને નકારાત્મક અંશમાં લખી
શકીએ.
જો કોઈ શક્તિ m ની ઉપર નીચે આવે તો અમે તેને બીજી રીતે લખી
શકીએ જેમાં પાવર માઇનસ m હોય.
આ પાવર માઇનસ એમ માટે એક છે.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ છીએ.
જો આપણે આ રીતે લખી શકીએ તો તમે મને કહો કે તે કેવી રીતે
લખવું.
એ પાવર પી પર પાવર પી પર એ પાવર ક્યૂ.
હલ કરો અને મને આ પરિણામની સહાય અને પ્રથમ પરિણામની સહાયથી
કેવી રીતે લખવું.
કરી કાઢો.
સૌથી પહેલાં તો આ જુઓ.
આપણે તેને કેવી રીતે બદલી શકીએ?
નકારાત્મક શક્તિ નીચે જશે અને નકારાત્મક બનશે.
a ના પાવર p ને a ના પાવર માઇનસ q માં લખી શકીએ.
કેમ? કારણ કે આ શક્તિ વધી ગઈ છે.
જો અમે ન્યૂમરેટરમાં તેને લખીએ તો તે નકારાત્મક થશે.
હવે જુઓ, પ્રથમ મિલકત લાગુ પડશે.
કેમ? કારણ કે આપણી પાસે એક જ આધાર છે.
બંનેનો આધાર એ.
એ જ આધાર છે.
જ્યારે આધાર એક જ હોય અને બંને ગુણાકારમાં હોય, ત્યારે પાવર
ઉમેરાશે.
a પાવર p ને a દ્વારા પાવર q વડે વિભાજિત કરવામાં આવે તો તે
પાવર p ઓછા q ની બરાબર હશે.
આ નિયમ નંબર ૩ અને નંબર ૧ કેટલાકની મદદથી આવ્યા છે?
સમાન રીતે, જો હું તમને આનો બીજો કેસ કહું તો, જો આપણી પાસે આ
હોય તો, તમે આ કેવી રીતે લખશો?
હવે જ્યારે હું તમને ગુણાકારમાં સરખું કરવા દીધું હતું,
ત્યારે બન્નેને એકસાથે ગુણાકાર કરો અને પછી પૂર્ણ શક્તિ કરો,
તો તમે જુદી શક્તિઓ મળશે નહીં.
તો એ જ રીતે, આ કિસ્સામાં પણ શું થશે?
જો આ બે ભાગો હોય અને તેમાં સમાન શક્તિ હોય, તો કંઈ કરવાનું
નથી, પ્રથમ તેને સામાન્ય કરીને પાછળ લાવો, પાવર a by b અને
તેની સંપૂર્ણ શક્તિ m, સંપૂર્ણ પાવર m, તો આ તમારો નિયમ નંબર
4 છે, તો આ તમારો નિયમ નંબર 5 છે.
જો આપણે આ આપેલ હોય તો, અન્ય રૂપમાં આપી શકીએ, a b ની પૂર્ણ
શક્તિ m, પછી આપણે આને બીજા સ્વરૂપમાં લખી શકીએ, b વડે શક્તિ
ઓછા m ને લખી શકીએ.
બી દ્વારા પાવર માઇનસ એમ દ્વારા, કારણ કે અમે અંદર પારસ્પરિક
કર્યા છીએ અને જેમ જેમ અમે પારસ્પરિક કરીએ છીએ, તેથી અમારી
શક્તિ નકારાત્મક હશે કારણ કે અમે વિપરીત કેસ કરી રહ્યા છીએ,
જ્યારે અમે તેમાં પારસ્પરિક કર્યા હતા, જેમ કે 1 દ્વારા પાવર
m, અમે પારસ્પરિક કર્યા હતા,
અમે શું કર્યું?
આજેના વિડિઓમાં આપણે સંખ્યાઓની ઘાતાં અને વર્ગમૂળો પર ચર્ચા
કરીએ. ... nus m. b by a to the power minus m, કેમ કે અમે
અંદરું ઉલ્ટો કરીએ છીએ તેથી શક્તિ નકારાત્મક હશે અને જ્યાં પર
અમે પારસ્પરિક કરીએ છીએ ત્યાં પર શક્તિ નકારાત્મક હશે,
પારસ્પરિક અર્થ શબ્દોમાં લોકો દ્વારા વપરાય છે.
છેદ અંશમાં અને અંશને છેદમાં લખો, કે જેને પારસ્પરિક કહેવામાં
આવશે.
આથી આ a by 1, આખો પાવર ઋણ હશે, તેથી માઇનસ m, આ દૃશ્યમાન છે,
આ માઇનસ m હશે, તેથી 1 વડે કોઇપણ ભાગ્યા હોય તો, આપણે તેને
લખી શકીએ છીએ, તેનાથી કોઈ ફરક પડવાનો નથી, તેથી આ પાવર
બાદબાકી m માટે a હશે. આ અમારી મિલકત હતી કે જે ૧ દ્વારા
પાવર m, આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ છીએ, એ જ રીતે આ ગુણધર્મને
આધારે, એટલે કે 6, જો આપણી પાસે m પાવર માટે a b હોય, તો આપણે
તેને નકારાત્મક શક્તિમાં પારસ્પરિક તરીકે લખી શકીએ છીએ, એટલે
કે b બાય a by a of power minus m.
સાતમું લખો, સાતમું ખૂબ સરસ ગુણધર્મ છે, આ વાત દરેક
વિદ્યાર્થીને પતા હોય છે, જેમાં દરેક બાળક ખેળવી શકે છે, કોઈ
પણ સંખ્યા x, y, z હોય તો આપણે તેની પરવાનગી નહીં આપીએ પરંતુ
ધારો કે તે સંખ્યા a છે, જો આપણી પાસે કોઈ સંખ્યા હોય તો તેની
ઘાતશક્તિ અનુક્રમણિકામાં બદલી શકાય છે.
0, એટલે કે શક્તિ 0 બની જાય છે, તેથી જવાબ શું હશે, ફક્ત 1,
જો આપણે કોઈ પણ સંખ્યાને પાવર 0 સુધી વધારીશું, તો જવાબ શું
હશે, જવાબ 1 હશે.
હવે એ જ રીતે, આ પરિણામ કે જે આપણે કર્યું છે, ગુણાકાર, તેથી
જો આપણે આવું કંઈક કરીએ, તો તે ગુણાકારમાં માત્ર ૨ સંખ્યાઓ
હતી, તેથી આપણે ગુણાકારમાં ૩ સંખ્યાઓ મેળવી શકીએ, a પાવર m ને
b માં પાવર m થી c પાવર m માં પાવર m ને પાવર m માં પાવર m
માં મેળવી શકીએ છીએ, તેથી આપણે ગુણાકારમાં 3 સંખ્યાઓ મેળવી
શકીએ છીએ.
કેવી રીતે કરવું તે જોવા માટે, આ ઉદાહરણ જોઈને, જો આ જરૂરી
નથી તો તે ફક્ત ૨ નથી હોઈ શકે, તે ૨ કરતાં વધુ પણ હોઈ શકે છે,
તેથી અમે કંઈ કરવાનું નથી જોઈતું, અમે આ જ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ
છીએ, આ નિયમ હતો કે જો તે સમાન શક્તિ હોય તો તેને ગુણાકાર કરો
અને લો.
સામાન્ય શક્તિ, જો તે ૩ માં આવે તો તે ૩ માં આવશે, પરંતુ
શક્તિ સમાન હોવી જોઈએ, તેથી ૩ ને અંદર ગુણાકાર કરો અને
સામાન્ય પાવર m લો. આ નિયમ ત્રણમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે, ૩,
૪, ૫, ૧૦, ૧૫ કોઈપણમાં, મર્યાદિત નથી.
હવે આ નિયમ કેટલી વખત લાગુ પડશે તે નોંધી લો, અને પછીની
ગુણવત્તા પર ચર્ચા કરીએ. અમે પહેલાં સુધી કયાં સુધી પહોંચ્યા
છીએ તે નોંધી લીધું છે, આ સબકેસ પૂર્ણ થયું છે, હવે 8મી
ગુણવત્તા લખો.
આઠમો ગુણધર્મ શું છે, જો a અને m પાવર હોય તો અને આ સમગ્ર
પાવર n માં હોય તો, પ્રથમ આપણે 2 ને પાવર 3 લખી રહ્યા છીએ,
પછી આને ઉકેલ્યા પછી, આપણે આખો પાવર 5 કાઢી રહ્યા છીએ, તેથી આ
a પાવર m ને n માં બરાબર થશે.
પાવર્સ ગુણાકાર થાય છે, તેથી જો આ 2 ને પાવર 3 છે અને પૂર્ણ
પાવર 5 છે, તો આપણે તેને 2 પાવર 3 ને 5 માં લખી શકીએ છીએ, જે
2 પાવર 15 બને છે, આપણે સરળતાથી આ લખી શકીએ છીએ અને હલ કરી
શકીએ છીએ. જો હું આનો વધુ એક કેસ કહું, તો જો આપણે આ પાવર હોય,
n ને બદલે, તે n ઉપર ૧ બને છે, n ને બદલે આ શક્તિ, n ઉપર ૧
બને છે, તેથી કંઇ થશે નહીં, નિયમ સમાન હશે, કે આખી શક્તિ આમાં
છે, તેથી શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવશે, તેથી તમે આ બે, m
અને ૧ ને n વડે ગુણાકાર કરો, તેથી શું થશે, a નું
પાવર, જો તમે n નો ગુણાકાર કરો છો, તો આ મ n ની ભગાડે બની
જશે, કારણ કે આ છેદમાં છે, n છેદમાં છે અને m એ અંશમાં 1 છે,
તેથી આ m પાવર n માટે a બનશે, આ તેનો ઉપભાગ કે ઉપસંહાર છે જે
તમે કહી શકો છો, આગળ લખો, જે...
હાય સૌથી નવી વિડીયો પર સ્વાગત છે. આજના વિડીયોમાં, અંકનો અને
સર્ડોને કરવાનું છે. જો તમને પાવર મુલાકાત થઈ હોય તો હું તમને
એક વધુ કહીશ. જો તમને આ હોય તો પાવર m મુલાકાત n થી ગુણાશો તો
આ દાયકા બની જશે. આ પરત કે કોરોલેરી કહી શકાય છે.
n, આ તફાવતની વિસ્તૃત નોંધ કરો, કારણ કે આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ
છે, જો તમે આ બે વિષયોમાં ફરક મેળવો છો, તો રાખવું સરળ થશે.
આ, જો તમે આને ઉકેલો છો, તો તમે કેવી રીતે કરશો, તમે આ લખશો,
શક્તિને, મેડમે કહ્યું, જો તે આવું છે, તો શક્તિનો ગુણાકાર
કરો, તેથી તમે તેને આ રીતે લખશો, તમે તેને આ રીતે લખી શકતા
નથી, તમે શા માટે લખી શકતા નથી, આમાં શું તફાવત છે
અને છેલ્લો એક, છેલ્લા એકમાં, હમણાં આ બ્રેકેટ મૂક્યો છે, આ
બ્રેકેટ પછી, આ પૂરો પાવર ૧ બાય n છે, માનો કે જો આપણે ૨ ની
પાવર ૩ માટે, ૧/૬ ની પૂર્ણ પાવર હોતી, તો આમાં શું થયું
હોતું, આપણે ગુણાકાર કર્યું હોતું.
૩ થી ૧
૬ દ્વારા, તેથી આ ૩ બાય ૬ ના પાવર માટે ૨ હોત, એટલે કે ૧ બાય
૨ પાવર માટે ૨ હોત, તો આ તમારો જવાબ હોત, પરંતુ જો આ જ વસ્તુ
કોઈ અન્ય રીતે હોય, જો હું આ ૨ ને પાવર ૩ માં લખું, અને ૩ નો
પાવર ૧ બાય ૬ છે, તો આ તમારો જવાબ હોત, આ કિસ્સામાં, આ 2 થી
પાવર 3, આ આખી વસ્તુની શક્તિ 1 બાય 6 હતી, પરંતુ આ કિસ્સામાં,
ફક્ત પ્રથમ શક્તિ 3 છે, જેમાં 1 બાય 6 છે, તેથી આ બે વસ્તુઓ
સમાન નથી હોઈ શકતી, કારણ કે આને હલ કર્યા પછી, શું આવી રહ્યું
છે તે છે, શક્તિમાં 2, પહેલા આપણે 3 ની શક્તિનો હલ કરીને ઉકેલ
લાવીશું.
1 બાય 6, પછી જે શક્તિ આવશે, તે આપણે લખીશું કે 2 ની
શક્તિમાં, તેથી આ બંનેનું શું થયું, આ બંનેનું શું થયું, તે
એકદમ અલગ થઈ ગયા, તેથી આ બે બાબતો, આપણે હલ કરી શકીશું નહીં.
x, b ના પાવરની બરાબર a ને
xનો પાવર.
જો અમને બન્ને જથ્થાને બરાબર આપેલ હોય, તો આધાર પણ સમાન હોઈ
જશે.
જો બન્ને માત્રાઓ સમાન આપવામાં આવી હોય, તો આધાર પણ સમાન હશે.
સમાન હોય તો આધાર પણ સમાન હશે. (If they are equal, then the
base will also be equal.)
જો અમને a ની પવર p સમાન અને a ની પવર q સમાન છે, તો આ આપણે
આપવામાં આવ્યું છે.
હવે બંને જથ્થો સમાન છે પરંતુ આધારો સમાન છે, પવર અજાણ્યા છે.
આ અર્થ છે કે બંને જથ્થો સમાન છે.
તેથી, આ અર્થ નક્કી કરે છે કે બંને મૂલ્યો સમાન છે.
હવે, ધરો કે અમે આપેલ છે કે 2 નું પાવર x બરાબર છે જે 16 છે.
હવે, x ની કિમત શોધો.
તેથી, આ સૂચવે છે કે x બરાબર 16 છે.
બાજુએ જો શક્તિ x માઇનસ y હોય તો શક્તિઓને સમાન કરો.
તેથી, x બરાબર x ઓછા y.
આવા સમીકરણો રચાય છે.
પ્રશ્નોને હલ કરવા માંગે છે, ત્યારે આવા સમીકરણો બનાવવામાં
આવે.
આધાર અને શક્તિને સમાન કરીને, અમે હલ કરીએ અને અજ્ઞાત જથ્થો
શોધીએ છીએ.
તેથી, આ 9 ગુણધર્મો અને તેમના ઉપભાગો, સબકોલ રિલીઝ, વગેરે હતા.
આ બધા સૂચકાંકોના ગુણધર્મો અને નિયમો છે.
હવે પછીના વિડિયોમાં અમે ઇન્ડેક્સ અને સર્ડ્સ વિષયમાં એક અલગ
કેસ કરીશું.
તો, વિડિઓ જોવા બદલ આભાર.
વીડિયો જોવા બદલ આભાર.