બધાને નમસ્તે, અમારા નવા વિડિઓ પર પાછા આવવાનું સ્વાગત છે.
આશા કરું તમારી નંબર સિસ્ટમ પર પ્રેક્ટિસ સારી રીતે ચાલી રહી
હોય અને તમારા પ્રશ્નોનું હલ સરળ થઈ રહ્યું હોય.
અને તમે અદ્યતન પ્રશ્નોની પ્રેક્ટિસ કરી રહ્યા છો.
આ વિડિયોમાં આપણે શેષ પ્રમેય પર કામ કરીશું.
જો આપણે કોઈ વિષયની થિઓરી કરી રહ્યા હોય, આપણે તે વિષય વિશે
કશું જાણી જોઈએ.
આમાં આપણે જે ચાર સૌથી અગત્યની બાબતો જાણવી જોઈએ તે એ છે કે
આપણે બાકીની બાબતો જાણવી જોઈએ.
કોઈ પણ વસ્તુનો બાકીનો ભાગ કેટલો છે? ક્યારે આવે છે?
આપણને બાકીની રકમ ક્યારે મળશે?
બે વસ્તુઓને ભાગ કરીએ છીએ ત્યારે શેષ હેઠળ આવે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો અમારી પાસે એક ભિન્નનું હોય, તો અમે ક્યારે
બે વસ્તુઓને ભાગીશું?
કાં તો અપૂર્ણાંકમાં લખો અથવા ભાગાકાર કરો.
ધારો કે આપણી પાસે એક પ્રશ્ન છે, એટલે કે, ૧૪ ભાગ્યા ૬.
આપણે અપૂર્ણાંકમાં ૧૪ ભાગ્યા ૬ ને કેવી રીતે લખીશું?
આપણે અપૂર્ણાંકમાં ૧૪/૬ પણ લખી શકીએ.
14 એ અંશ છે અને 6 છેદ છે.
જો આપણે તેને વિભાજિત કરવા માંગતા હોઈએ, તો આપણે તેને કેવી
રીતે વિભાજિત કરીશું?
આપણે તેને આ રીતે વિભાજિત કરીએ છીએ.
આપણે 14 અંદર અને 6 અહીં લખીશું.
હવે બધા જાણે છે કે 6 બેકસ 12 છે.
હમે 6 ના ટેબલ કેટલી સંખ્યા સુધી ગણવી જોઈએ? આપણી પાસે આ
સંખ્યા છે કે ઓછી કોઈ સંખ્યા હોઈ શકે.
દાખલા તરીકે, 6 એ 6 છે, 6 બે એ 12 છે.
12 આના કરતા નાની છે.
જેવા આપણે 6 ત્રણ જોઈએ કે તરત જ તે 18 થઈ જશે.
જો તે આના કરતા પણ મોટું હશે, તો આપણે 6 ત્રણ પર જઈશું નહીં.
આપણે 6 બે પર અટકીશું.
તો 6 બે એ 12 છે.
આપણે અહીં 12 લખીશું.
પછી આપણે આ બેની બાદબાકી કરીશું.
તેથી 14 ઓછા 12, આપણી પાસે 2 હશે.
તેથી આપણે નીચે જે છોડ્યું છે, તેને આપણે શેષ કહીશું.
આપણે આને શેષ કહીશું.
આ ઉપર 2, આપણે તેને ભાગફળ કહીશું.
ન્યુમેરેટરમાં આ ભાગ, જે અમે અંદર લખ્યું છે, તેને અમે
ડિવિડેન્ડ કહીશું.
અને નિયમકમાં, જે આપણે બહાર લખ્યું છે, આપણે તેને ભાજક કહીશું.
આ બધી શરતો તમારા માટે સ્પષ્ટ હોવી જોઈએ.
તે હવે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે.
ધારો કે આપણી પાસે ૧૪ છે.
જો 14 કરતાં ઉપરની કોઈ સંખ્યા હોય, તો અમે તેને નીચે લાવીશું
અને આગળ હલ કરીશું.
હવે જુઓ, નીચે જે કંઈ શેષ બાકી છે,
જે પણ બાકી છે, તે હંમેશાં વિભાજક રહેશે.
એટલે કે, આપણે જેનું વિભાજન કરી રહ્યા છીએ તેની પાસેથી આપણને
શું મળશે?
તે હંમેશાં તેના કરતા નાનું હશે.
તે હંમેશા ભાજક કરતા ઓછું રહેશે.
કેમ? કારણ કે જો તે ભાજકને બરાબર હોય,
અથવા તેનાથી પણ મોટું,
પછી આપણે તેની સામે ટેબલ ઉમેરીશું અને તેને વિભાજ્ય કરીશું.
ધારો કે આપણી પાસે અહીં શેષ ૬ હોત.
આપણને 6 શેષ ક્યારે મળશે?
જ્યારે આપણે તેમાં વધુ ૬ ઉમેરીશું.
જો આપણે વધુ 6 ઉમેરીએ,
તો પછી આપણને શું મળશે? 18 18 એ પૂર્ણપણે 6 વડે ભાગ્યા છે.
તેથી જ્યારે પણ આપણી પાસે શેષ હોય,
તે હંમેશાં આના કરતા નાનું હશે.
તે કદી પણ ભાજકની બરાબર નહીં હોય.
તો, આ બધાની નોંધ લો.
શેષ હંમેશા કરતા ઓછી રહેશે.
કરતાં ઓછું.
કરતાં ઓછું કહીશું.
અમે બરાબર પણ નહીં કહીએ.
થી માત્ર ઓછું.
તે હંમેશા ભાજક કરતા ઓછું રહેશે.
એક વાત એ છે કે,
શેષ હંમેશા ભાજક કરતા ઓછી રહેશે.
બીજી વાત એ છે કે,
જો આપણે જોઇએ તો, 6 થી 2 બરાબર 12.
6 થી 2 એ 12 છે.
જો આપણે 12 માં શેષ ઉમેરીએ,
આપણને 12 વત્તા 2 બરાબર 14 મળશે.
જે ડિવિડન્ડ બરાબર છે.
આનો બીજો ગુણધર્મ એ છે કે,
તે ઘણું મહત્ત્વનું છે.
તે જ
ડિવિડન્ડ .
જે ડિવિડન્ડને આપણે વિભાજિત કરી રહ્યા છીએ,
તે હંમેશાં સમાન રહેશે,
ભાગફળ વત્તા શેષમાં વિભાજિત કરો.
શેષ ટૂંકા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે.
તેથી, શેષ.
ડિવિડન્ડ બરાબર હશે,
ભાગફળ વત્તા શેષમાં વિભાજિત કરો.
ડિવિડન્ડ 14 છે.
14 બરાબર 6 થી 2 બરાબર 12 વત્તા 2.
આ 40 છે.
બંને સમાન છે.
ડાબા હાથની બાજુ જમણા હાથની બાજુને સમાન હોય છે.
આ બાકીનું મૂળભૂત જ્ઞાન છે.
અમે નાના વર્ગમાં આનો અભ્યાસ કર્યો છે.
જે વસ્તુનો તમે અભ્યાસ કર્યો નથી,
અમારી પાસે તે છે.
નેગેટિવ શેષ.
નેગેટિવ શેષ એટલે શું?
નેગેટિવ શેષ.
જ્યારે પણ આપણે શેષ લખીએ છીએ,
આપણે જે કરીએ છીએ તે છે,
છેલ્લામાં,
જો કંઈ પણ આવે તો,
મેં કહ્યું
તે એક નાની સંખ્યા હશે.
ડિવિડેન્ડની સમાન સંખ્યા પર કોષ્ટક લઈ જવું.
અથવા કોષ્ટકને નાની સંખ્યા પર લઈ જાઓ.
તો, બાકીનું શું હશે?
પોઝિટિવ રહેશે.
તો, નકારાત્મક શેષ ક્યાંથી આવ્યો?
નેગેટિવ શેષ ક્યાંથી આવ્યો?
જોઈએ એ.
ધારો કે, ૬ થી ૨ બરાબર ૧૨ થાય.
તેથી, બાકીનો ભાગ હકારાત્મક 2 છે.
પણ, આપણે બીજી રીતે શું કહી શકીએ?
આપણે કહી શકીએ કે 14 એ નાનું છે.
જો આપણે 2 ને ઘટાડીને 14 કરીએ,
પછી તેનું વિભાજન થશે.
પણ, જો આપણે કોઈ ઊંચા ટેબલ પર જઈએ,
ઉદાહરણ તરીકે, 6 થી 3.
6 થી 3 શું હશે? 6 થી 3 એ 18 છે.
તો, 18 અને 14 વચ્ચેનો સંબંધ શું છે?
એ શું હશે?
જો આપણે ૧૮ માંથી ૧૪ બાદ કરીએ,
તો પછી આપણને શું મળશે?
માઇનસ 4.
તો, તો પછી આપણને શું મળે છે?
બાકી નકારાત્મક બને છે.
જો આપણે ઊંચા ટેબલ પર જઈએ,
જ્યારે આપણે નીચેના ટેબલ પર જઈએ, ત્યારે
દાખલા તરીકે, અમે 12 વાગ્યે અટકી ગયા.
પછી અમને સકારાત્મક શેષ મળ્યો.
જો આપણે ઊંચા ટેબલ પર જઈએ,
ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 18 પર અટકી જઈએ,
તો પછી આપણને શું મળશે? 14 ઓછા 18.
એટલે કે, માઇનસ 4.
તેથી, તે કિસ્સામાં,
આપણને શું મળશે?
નેગેટિવ શેષ.
મોટાભાગે આપણે નાનપણથી જ આનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પરંતુ, જો આપણે મોટા પ્રશ્નોને ઝડપથી હલ કરવા માંગતા હોઈએ,
પછી નકારાત્મક શેષ પણ મહત્ત્વની ભૂમિકા ભજવે છે.
તેથી, જો હું તમને નકારાત્મક શેષ બતાવું,
તો પછી નકારાત્મક શેષ માટે આપણે શું કરીશું?
દાખલા તરીકે, આ લો.
આપણી પાસે શું હતું? 14 બાય 6.
અમારી પાસે આ જ હતું.
તેથી, જો આપણે 14 માં આગળ વધીએ,
આપણને શું મળશે?
આપણને આનું વિભાજ્ય મળશે.
તો, શું થશે?
14 વાગ્યા પછી તરત જ,
આપણે ૧૪/૧૮ માં કેટલી બાદબાકી કરવી પડશે?
તો પછી આપણને શું મળશે?
પછી આપણને બાકીની રકમ મળશે.
અમને આનો બાકીનો ભાગ મળ્યો.
હવે, આપણે 2 જોયું.
આ તમારી હકારાત્મક શેષ છે.
અને જ્યારે અમે 18માં ગયા,
અમને એ જ શેષ મળી.
માઇનસ 4.
તેથી, તે તમારી નકારાત્મક શેષ છે.
શું તમને તફાવત સમજાયો
પોઝિટિવ અને નેગેટિવ શેષ વચ્ચે?
હું આશા રાખું છું કે તમે સમજી ગયા હશો.
એ પછી, આપણે કેટલાક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીશું.
ધારો કે આપણી પાસે બે સંખ્યાઓ છે.
આપણે બાકીની રકમ શોધવી પડશે.
a વત્તા b ને n વડે ભાગ્યા છે.
આપણી પાસે ત્રણ સંખ્યાઓ છે.
ઉપરના અંશમાં,
અમારી પાસે પ્લસનું ચિહ્ન છે.
અને છેદમાં,
આપણી પાસે સામાન્ય સંખ્યા છે.
તે એન.
તેથી, આપણે બાકીની રકમ શોધી કાઢીશું
આ બે સંખ્યાઓ ઉમેરીને.
જે કઇ બરાબર હશે?
કાં તો આપણે ઉમેરીશું અને વહેંચીશું.
અને આપણને બાકીની રકમ મળશે.
અથવા તો આપણે તેને અલગથી લખી શકીએ.
એ નો બાકીનો ભાગ એન.
આપણે a ને n વડે ભાગીશું.
અને જુઓ કે શેષ શું છે.
પછી આપણી પાસે મધ્યમાં પ્લસનું ચિહ્ન છે.
તેથી, આપણને બાકીની રકમ મળશે.
હાલો દરેકો, આમાંથી તમારું સ્વાગત છે અમારી નવી વિડિઓ પર.
તમારું નંબર સિસ્ટમ પરિક્રમા સારી રીતે જ જાય છે ... જે કે
કયા કયા સમાન હોઈ શકે છે? અથવા અમે ઉમેરીએ અને ભાગ કરીએ અને
શેષ મેળવીએ. n દ્વારા a નો શેષ ભાગ લેવાથી બાકી રહેલો શેષ
જોવા મળે છે. પછી આમાં મધ્યમાં પ્લસ સાઈન છે. તો આપણે શેષ
જોઈએ.
આ માટે આપણે શેષ શોધવાનું છે. જો આપણે એ જ ગુણધર્મ લાગુ કરીએ
તો શેષ 12 ને 6 વડે ભાગીને જોઈએ તો શેષ 2 ને 6 વડે ભાગીને
જોઈએ. હવે 12 ને 6 વડે સંપૂર્ણ ભાગ્યા છે, તેથી શેષ કેટલો
થશે? 0, કારણ કે તેને પૂર્ણભાગીતા કરવામાં આવ્યો છે.
સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરવામાં આવી રહ્યું છે
આથી આપણને ૦ વત્તા શેષ ૨/૬ મળશે હવે જ્યારે આપણે લખીએ કે ૨ ૨
એ પહેલાથી જ ૬ કરતા નાનું છે તેથી ૬ એ ૦ વડે ૦ થશે તેથી ૨ ઓછા
૦ એ ૨ થશે જો આપણી પાસે ૬ કરતા નાની સંખ્યા હોય તો આપણને ૧ થી
૫ સુધીની કોઈપણ સંખ્યાની જેમ સમાન શેષ મળશે ૧ થી ૫ અથવા ૦
સુધીની કોઇપણ સંખ્યા
હાય સૌથી મહત્વની વિડીયો પર પાછળ સ્વાગત છે. હું આશા કરું છું
કે તમારું અભ્યાસ સંખ્યા પદ્ધતિ પર સારું જાય છે ... 6 દ્વારા
પૂર્ણરૂપે વહેંચાયેલી છે તો અમે 0 વધુ શેષ 2 મળે છે જ્યારે
અમે 2 લખીને છોટી સંખ્યા 6 કરતાં પરિણામ મળશે તો 6 પૂર્ણાંક
હશે તો 2 થી 0 હશે જ્યારે આપણે 6 કરતાં કોઈપણ સંખ્યાને 1 થી 5
સુધી એક શેષ મળી જશે.
હવે હું ૧૪/૬ કરી શકું તો આપણે તેને સૌથી નીચલા સ્વરૂપમાં
રૂપાંતરિત કરી શકીએ અને તેને ભાગીએ. આપણે તેને ૨ ભાગ્યા ૨ વડે
ભાગીએ છીએ તેથી આપણને ૭ ભાગ્યા ૩ મળશે. જો આપણે ૭ ભાગ્યા કરીએ
તો આપણે તેને ભાગ્યા કરીશું.
૩ દ્વારા ૭ ૩ ગુણ્યા ૨ બરાબર ૬ તેથી આ શેષ છે તેથી શેષ ૧ શું
છે પરંતુ શું આપણને ૧૪ બાય ૬ શેષ ૧ મળ્યો છે કે જેમાં આપણને
શેષ ૨ મળ્યો છે તેથી અહીં આપણે ખોટા છીએ તેથી આપણે શા માટે
ખોટા છીએ આપણે તેને પ્રક્રિયા મુજબ સૌથી નીચલા સ્વરૂપમાં હલ
કર્યું છે તેથી આ ખોટું છે કારણ કે ભાગાકાર કરવાથી
આ નીચેના સ્તરમાં સમાન છે, પરંતુ ભાગમાં અલગ શેષ મળશે, તો
સમાન શેષ મેળવવા માટે આપણે જે કંઈ સામાન્ય અને વિભાજન કર્યું
છે તેને ગુણાકાર કરવો પડશે, જેમાં આપણે 2 સામાન્ય અને ભાગમાં
લીધેલું છે. તેથી આપણે તેમાં જે શેષ મેળવ્યા હોય તેને રીતે
ગુણાકાર કરવો પડશે.
આપણે તે સામાન્ય સંખ્યાનો ગુણાકાર કરવાનો છે તો આપણને જવાબ
મળશે તેથી જ્યારે આપણે ૧ ગુણ્યા ૨ કરીએ એટલે પદ એ શેષનો જવાબ
હશે આ જવાબ નહિં હોય તેથી તમે તફાવત સમજી શકો છો ધારો કે હું
તમને બીજો પ્રશ્ન આપું તો આપણી પાસે ૧૨૫ ભાગ્યા
5 125 ભાગ્યા 5 તેથી જો આપણે જોઇએ કે આ પૂર્ણ રીતે વિભાજિત
થયેલ છે આ પૂર્ણ રીતે ભાગેલ છે આ પૂર્ણ રીતે ભાગાયેલ છે આ
પૂર્ણ રીતે ભાગેલ છે આને પૂર્ણ રીતે ભાગ્યા છે આપણે બીજા
કેટલાક પ્રશ્ન 48 ભાગ્યા 5 48 ભાગ્યા 5 થી 5 હલ કરીશું આ 48
ભાગ્યા 5 48 ભાગ્યા 48 ભાગ્યા 15 વડે કઇ રીતે થશે
થાય છે 48 ની અંદર જશે 15 બહાર આવશે 15 બનશે 48 સુધી ડિવિડન્ડ
બનશે 48 સુધી 15 કોષ્ટક 15 વખત 1 તે 15 વખત 15 વખત 15 વખત 2
છે 30 વખત 15 વખત 3 તે 45 15 વખત 3 તે 15 વખત ઓછું છે 3 તે 3
15 વખત 3 15 વખત 3 15 વખત 3 છે 3 15 વખત 3 બરાબર 15 વખત
હાલની વાક્યરૂપે જો અમે ૪૮ અને ૧૫ જોઈએ તો શું સામાન્ય છે તે
જોવામાં આવે તો ૩, ૫, ૧૫ હશે. ૩, ૫, ૧૫ ૩, ૧, ૬ ૩, ૧૬, ૪૮ માં
સામાન્ય વસ્તુ છે. ૧૬ ને ૫ થી ભાગ કરીને ૧ આવશે.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 એ જ રીતે, ગુણાકારનો
પણ ગુણધર્મ છે.
જો આપણા ન્યૂમેરેટરમાં, બે નંબર ગુણાકાર કરી રહ્યાં છે અને
તેના શેષાંશને n વડે શોધવા માટે હવે છે.
તો, આમાં પણ શું થશે? તેમાં પણ તે વહેંચાય જશે.
અને મધ્યમાં, પ્લસ સાઇન હતું, તેથી પ્લસ સાઇન હતું.
આમાં, ગુણાકારનું ચિહ્ન છે, તેથી મધ્યમાં પણ ગુણાકારનું ચિહ્ન
હશે.
તો, શું થશે? પ્રથમ, હું a નો બાકીનો ભાગ n વડે જોઈશ.
પછી, હું b ના બાકીના ભાગને n વડે ગુણાકાર કરીશ.
જે પણ બાકી હોય, હું તેને b વડે n વડે વિભાજિત કરીશ.
મારે આ બે વસ્તુઓનું શું કરવું જોઈએ?
હું તેમને એકબીજા સાથે ગુણાકાર કરીશ.
તો, જો અમે અહીં એક જ કામ કરીએ તો હમે કોઈ પરિણામ જાણવાની
જરૂર નથી. હમણાં સુધી અમે ફર્મેટના પ્રમેયનું પરિણામ જાણી
શક્ય છીએ.
અને આપણે બાકીનાનું પરિણામ જાણીએ છીએ.
તો, આમે આવાજોની પ્રક્રિયામાં શું કરીશું? અમે પાવર પી
લેવામાં આવીશું.
આમાં, અમને બધી શરતો આપવામાં આવી છે.
તે p એ અવિભાજ્ય છે, a અને p એ સહ-અવિભાજ્ય છે, a એ હકારાત્મક
સંખ્યા છે.
આ આપણને પહેલેથી જ આપવામાં આવ્યું છે.
પરંતુ આ વખતે, પાવર પી માટે આ જ પૂર્ણાંક પર આ આ પાવર
પૂછવામાં આવે છે.
તો, આપણે શું કરીશું? અમે તેને આમાં વિભાજિત કરીશું.
હું પાવર પી ને એ પાવર પી માઇનસ ૧ માં એ તરીકે લખી શકું છું.
હું આ રીતે લખી શકું છું, ના? અને વિભાજનમાં p હોય છે.
આ માટે આપણે શું શોધવાનું છે?
આપણે બાકીની રકમ શોધવી પડશે.
અમે આ કર્યું છે.
કારણ કે શક્તિ ગુણાકારમાં હોય છે.
જો આ બંને ગુણાકારમાં હોય તો શક્તિ શું થશે?
ઉમેરવામાં આવશે.
પાવર ૧ વત્તા પી માઇનસ ૧.
તેથી, પી શક્તિ તરીકે જ રહેશે.
તેથી, અમે આને આમાં રૂપાંતરિત કર્યું છે.
હવે, આ ગુણાકારમાં છે.
તેથી, તેને અલગથી કરો.
જેમ કે, આ નિયમ લાગુ કરવાથી, શું થશે?
પાવર p ને શેષ a ને a માં શેષ કરો અને પાવર p ઓછા 1 by p.
તેથી, આને આમાં લાગુ કરી શકાય છે.
આમાં ફર્મેટનો પ્રમેય લાગુ પાડવામાં આવશે.
તેથી, આ 1 હશે.
અને પાવર પી.ને શેષ કરો.
પાવર પી માટે એ નો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
તે ફક્ત ત્યારે જ હશે જો તે એ કરતા ઓછું હોય.
જો પાવર p માટે a ઓછું હોય, તો શેષ કેટલું હશે? જો એ પર ઓછું
હોય તો?
આપણને એક જ મળશે.
તેથી, અમને આ મળશે.
શેષ એ.
અને આ શું હતું?
શેષ 1.
તેથી, a into 1 એ a છે.
તેથી, આપણી પાસે ફર્મેટના પ્રમેયમાંથી એક નવો ઉપ-સિદ્ધાંત છે.
જો આપણે આ નવી મિલકત લખીએ તો.
જો આપણને p દ્વારા પાવર p ના શેષ વિશે પૂછવામાં આવે તો.
તો પછી આપણને શું મળશે?
આપણને એ.
તેથી, આપણે ફર્મેટના પ્રમેયમાંથી બે બાબતો જાણી શકીએ છીએ.
એક તો આ પરિણામ છે.
આ આપણું મુખ્ય પરિણામ છે.
જો તમે આ યાદ રાખી શકતા નથી, તો તે ઠીક છે.
તમે આ મદદનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
પણ તમારે આ યાદ રાખવું પડશે.
તો ચાલો, આના પર એક પ્રશ્ન કરીએ.
ચાલો જોઈએ આના પરનો પ્રશ્ન.
સવાલ એ છે કે.
પાવર ૪૨ ભાગ્યા ૪૧ વડે ૨૫૦ નો બાકીનો ભાગ શોધી કાઢો.
સૌ પ્રથમ, છેદ 41 જુઓ.
તમે કયો નંબર જુઓ છો? 41.
તમે પ્રાઇમ જોઈ શકો છો.
41 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
તો, 41 એટલે શું?
તે અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
એટલે કે આપણે તેને પી કહીએ છીએ.
p નું મૂલ્ય શું છે? 41.
જુઓ, ઉપર શું છે? 250.
250 અને 41. 41.
આ બંનેમાં કંઈ સામાન્ય છે કે નહીં? જો આ બન્નેમાં કંઈ સામાન્ય
હોય તો તે 41નો ગુણાકાર છે.
કારણ કે 41 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
બીજા કોઈ પરિબળો નથી.
તેથી, 41 ના કોષ્ટકમાં 250 આવી રહ્યું નથી.
તો, આ બંનેનું HCF શું છે? અમારી પાસે ૨૫૦ અને ૪૧ના એકમાં ૧
છે.
એટલે કે આ બંને કો-પ્રાઇમ નંબર બની ગયા છે.
તો, 250 એટલે શું?
A.
તો, 41 અને 250 કો-પ્રાઇમ બન્યા છે.
એ, 250 એક પોઝિટિવ નંબર બની ગયો છે.
P એ અવિભાજ્ય સંખ્યા બની ગઈ છે.
તેથી, ત્રણેય શરતો પૂરી કરવામાં આવી છે.
તો, મારે આમાં શું લાગુ કરવું જોઈએ?
મારે ફર્મેટનો પ્રમેય લાગુ પાડવો જોઈએ.
હવે, ફેર્મેટના પ્રમેયમાં શું હતું?
કાં તો આપણી પાસે પાવર પી માઇનસ ૧ અથવા પાવર પી હતો.
પરંતુ, આમાં શક્તિ શું છે? 41 વત્તા 1.
એટલે કે 42.
એટલે કે, p વત્તા 1 એ શક્તિ છે.
તો, આપણે આને કેવી રીતે હલ કરીશું?
આ જોવા.
આને વિભાજિત કરો.
આપણે ૨૫૦ ની શક્તિ ૪૨ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
250નો પાવર 40 પ્લસ 2 છે.
આપણે ૪૨ ને ૪૦ વત્તા ૨ ભાગ્યા ૪૧ માં ભાગ્યા છે.
આપણે તે ૪૦ વત્તા ૨ માં કેમ કર્યું?
ફર્મેટના થિયોરમ માટે પ નો એક પાવર ઓછો જોઈએ.
એટલે કે, આપણને સત્તામાં p માઇનસ 1 ની જરૂર છે.
તેથી, p ઓછા 1 એ 40 હોવું જોઈએ.
તેથી જ મેં આ કર્યું.
40 વત્તા 2.
પાવર જોડામાં હોય ત્યારે તેને ગુણાકાર કરવામાં આવશે.
આથી, આપણને 250નો પાવર 40 તરીકે મળશે અને 2 ભાગ્યા 41 જેટલો
થશે.
હવે, આપણે આનો બાકીનો ભાગ શોધવો પડશે.
હવે, શું થયું? આ બંને વસ્તુઓ ગુણાકારમાં છે.
તેથી, બાકીનું પણ અલગ હશે.
તેનું વિતરણ કરવામાં આવશે.
અને વચ્ચે ગુણાકારનું ચિહ્ન હશે.
તેથી, આ 250 પાવર 40 નો બાકીનો ભાગ હશે, જેને 41 વડે 250 પાવર
2 ભાગ્યા 41 ના બાકીના ભાગમાં ભાગશે.
હવે, આ જુઓ.
આ ફર્મેટના પ્રમેય જેવું લાગે છે.
આપણી પાસે p ઓછા ૧ ને ૪૧ અને p ઓછા ૧ ને ૪૦ છે.
ફેરમાટના થિઓરમ સાથે આ બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
આનો બાકીનો ભાગ 1 હશે.
અને આનો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
ચોરસ શક્તિને ફરીથી વિભાજિત કરો.
અર્થાત, 250 પાવર 41 નો શેષ ભાગ 250 પાવર 40 ના શેષ ભાગમાં
શેષ થશે.
તેથી, તેને એકવાર ઉકેલો અને તેને બે વાર ગુણાકાર કરો.
ચોરસ છે.
તો, 250 પાવર 41.
૨૫૦ પાવર ૪૧ ને ૨૫૦ પાવર ૪૧ વડે ભાગો.
તો, આ જુઓ.
એકવાર 41 એ 6 છે.
૪૧ પાવર ૬ નો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
એટલે કે 246 છે.
તેથી, 246 બરાબર 41 પાવર 6.
જો અમે ઘટાડીએ તો શેષ શું થશે? શેષ 4 હશે.
શેષ 4 થશે.
તો, તે અહીં લખો.
૧ થી ૪ થી ૪ એ ૧૬ છે.
તેથી, અમને 16 મળશે.
શેષ 16 થશે.
અને આ અમારો જવાબ હશે.
જો આ શેષને ગુણાકાર કરીને અમે મોટી સંખ્યા પામીશું.
એટલે કે 41થી મોટી સંખ્યા.
આથી, આપણે તેને ફરીથી 41 વડે ભાગીએ અને શેષ લખીએ.
કારણ કે શેષ કદી પણ ભાજક કરતાં વધારે ન હોઈ શકે.
જો તે ભાજક કરતાં વધારે હોય, તો તેને ફરીથી વિભાજિત કરો.
પછી અંતિમ શેષનો જવાબ લખો.
શું તે દરેકને સ્પષ્ટ છે?
આમાં કોઈ શંકા ન હોવી જોઈએ.
અત્યાર સુધી, આપણે ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે.
આપણે વિભાજિત કરી રહ્યા છીએ.
અને આપણે માત્ર એક જ મૂળભૂત પ્રમેયનો અભ્યાસ કર્યો છે.
તે ફર્મેટનો પ્રમેય છે.
એ પછીનો પ્રમેય શેષ પર વિલ્સનનો પ્રમેય છે.
વિલ્સનનો પ્રમેય શું કહે છે?
વિલ્સનનો પ્રમેય કરવા પહેલાં, હું તમને એક નોટેશન બતાવવા
માંગું છું.
તે સંખ્યાનું ફેક્ટોરિયલ છે.
મેં તમને આ કહ્યું નથી.
તો, મને એકવાર તે સ્પષ્ટ કરવા દો.
ધારો કે આપણને સંખ્યાના ફેક્ટોરિયલ વિશે પૂછવામાં આવે છે.
કોઈપણ સંખ્યાનો ફૅક્ટોરિયલ.
પ્રથમ જ જુઓ કે ફેક્ટોરિયલની નિશાની શું હશે.
આપણી પાસે ફેક્ટોરિયલની નિશાની હશે.
ફેક્ટોરિયલની નિશાની આ પ્રકારની હશે.
એ વાતનો ખુલાસો કરે છે કે.
ધારો કે આપણને ૧૫ ફેક્ટોરિયલ પૂછવામાં આવે છે.
અમને 15 ફેકટોરિયલ પૂછવામાં આવે છે.
આપણે આ રીતે ફેક્ટોરિયલ લખીએ છીએ.
તેથી, ફેક્ટોરિયલ એટલે, જેમ આપણને પૂછવામાં આવે છે કે 15
ફેક્ટોરિયલ.
તેથી, આપણે 15 થી પ્રારંભ કરવો પડશે.
અને આપણે તેને ઘટાડીને ગુણાકાર કરવો પડશે.
સુધી 1.
જો આપણે ૧૫ માંથી ૧ બાદ કરીએ, તો તે ૧૪ થશે.
તો, 15 થી 14.
પછી આપણે ૧ ને ૧૩ માં બાદ કરીએ.
વગેરે વગેરે, તે 3 થી 2 થી 1 સુધી ચાલશે.
એનો અર્થ એ કે, આપણે તેને ૧ સુધી ગુણાકાર કરવો પડશે.
કાં તો તમે આ રીતે કહો છો.
અથવા તમે આ રીતે કહો છો.
તો, આપણે ફેક્ટોરિયલ થી શરૂ કરીશું અને પૂછેલ સંખ્યા વડે તેને
ઘટાડીને ગુણાકાર કરીશું.
એટલે કે, જો આપણે ૧ થી ૧૫ માંગીએ, તો ૧ થી ૨ થી ૩ એમ ૧૫ સુધી.
તેથી, આ તમારી ફેક્ટોરિયલ વ્યાખ્યા છે.
પછી આપણે વિલ્સનનો પ્રમેય કરીશું.
વિલ્સનનો પ્રમેય સમજીએ કે જો આપણી પાસે પ્રાઇમ નંબર P હોય
તો...
જો પ્રાઇમ નંબર P હોય, તો ધરો કે P કમ એક ફેક્ટોરિયલને P વડે
ભાગવાનું કહેવામાં આવ્યું છે.
P માંથી 1 કમ કરેલ ફેક્ટોરિયલને P વડે ભાગો, પછી શેષ થશે?
અમને બાકીનું પૂછવામાં આવ્યું.
તેથી, આનો બાકીનો ભાગ P ઓછા 1 તરીકે આપણી પાસે આવે છે.
P ઓછા ૧ નો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
તેનો હકારાત્મક શેષ P ઓછા 1 હશે.
અને જો અમે બીજી ભાષામાં કહીને હોઈએ, તો આપણે કહીશું કે તેનો
શેષ માઇનસ ૧ હશે.
એટલે કે ઋણ 1.
આપણે નકારાત્મક 1 કેવી રીતે કહીશું?
એટલે કે, જો આપણે આમાં વધુ એક વત્તા ઉમેરીએ.
જો આપણે ૧ ને P ઓછા ૧ ફૅક્ટોરિયલમાં ઉમેરીએ તો.
અને પછી તેને P વડે વિભાજિત કરો.
તો, બાકીનું શું હશે?
મીંડું.
તો, આપણે બીજા શબ્દોમાં શું લખીશું?
અને, બીજા શબ્દોમાં આપણે શું લખીશું?
એટલે કે, P ઓછા 1 ફેક્ટોરિયલ વત્તા 1.
માઇનસ 1 એ નકારાત્મક શેષ હતી.
તેથી, જો આપણે આમાં વધુ એક વત્તા ઉમેરીએ.
એટલે કે, Pના કોષ્ટકમાં મોટી સંખ્યાઓ આવશે.
તેથી, P ઓછા 1 એ વિભાજ્ય છે.
સંપૂર્ણ વિભાજન એટલે વિભાજ્ય.
P વડે વિભાજિત થાય છે.
શું હોવી જોઈએ શરત?
P શું હોવું જોઈએ?
તે અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
P ઓછા 1 ફૅક્ટોરિયલ પ્લસ 1 પર P દ્વારા પૂર્ણ ભાગકરવામાં આવશે.
એટલે કે, પછી તેનો શેષ શૂન્ય થશે.
પરંતુ, જો પી ઓછા 1 ફેક્ટોરિયલનો બાકી પૂછવામાં આવે તો.
જો આપણે P વડે ભાગીએ, તો શેષ કેટલો થશે?
એટલે, બે શક્યતાઓ હશે.
ક્યાં તો P માઇનસ 1 આવશે.
અથવા, જો આપણે નકારાત્મક શેષમાં કહેવું હોય તો.
તો, તે શું હશે?
માઇનસ 1.
એટલે તમે આનું કોઈ પણ ઉદાહરણ બનાવી શકો છો.
ધારો કે, તમે આનું એક ઉદાહરણ બનાવો છો.
કોઈપણ અવિભાજ્ય નંબર લો.
અમે 41 લીધા હતા.
તેથી, જો આપણે 41 લઇએ, તો 41 પર 40 ફેક્ટોરિયલ.
જો આપણને આનો બાકીનો ભાગ પૂછવામાં આવે તો.
તેથી, P, P ની કિંમત 41 છે.
અને, જો આપણે શેષને ઓછા ૧ તરીકે લઇએ, તો P ઓછા ૧.
એ શું હશે? 40.
તો, આ શું હશે?
P ઓછા 1, એટલે કે 41 ઓછા 1 બરાબર 40.
તો, આનો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે? 40.
અને, આનો બાકીનો ભાગ બીજું શું હોઈ શકે?
માઇનસ 1.
અને, આનો બાકીનો ભાગ બીજું શું હોઈ શકે?
માઇનસ 1.
તમે કંઈપણ જોઈ શકો છો.
પછી, તમે વિકલ્પમાં જોઈ શકો છો.
વિકલ્પમાં, 40 ને માઇનસ 1 તરીકે આપવામાં આવ્યું છે.
જો તે ઋણમાં આપેલ હોય, તો પછી માઇનસ ૧ નો ઉપયોગ કરો.
અને, જો તે હકારાત્મક હોય, તો 40.
તેથી, હું આશા રાખું છું કે વિલ્સનનો પ્રમેય સ્પષ્ટ હશે.
તેથી, આપણી પાસે બે પ્રમેયો છે.
ફર્મેટનો પ્રમેય અને વિલ્સનનો પ્રમેય.
હવે, ત્રીજા પ્રમેય તરફ આગળ વધીએ.
ત્રીજો પ્રમેય યુલરનો પ્રમેય છે.
યુલરના પ્રમેયમાં, તમારે જે પ્રથમ સાધન જાણવાની જરૂર છે.
તે તો મેં તમને કહી જ દીધું છે.
તમને યાદ છે?
મેં તમને ફી એન કરીને કંઈક શીખવ્યું હતું.
કો-પ્રાઇમના સમયે.
મેં તમને ફી એન કરીને કહેલું.
આ શું છે?
આ યુલરનું કાર્ય છે.
શું છે ફી એન?
જો n એ કોઈ પણ વિધેયના કૌંસમાં હોય તો.
જો n એ સંખ્યા છે.
તેથી, જો n એ કુદરતી સંખ્યા હોય તો.
તો પછી, આપણે કેવી રીતે ફી એન શોધીશું? યુલરનું કાર્ય.
પ્રથમ, આપણે મુખ્ય પરિબળોના ગુણાંકમાં n લખીશું.
અમે પ્રોડક્ટમાં લખીશું.
એટલે કે, 'એ' શક્તિ એ પી છે.
બીમાં શક્તિ 'ક' છે.
સી પાવરમાં R છે.
ધારો કે, આ છે.
તો, યુલરનું કાર્ય શું છે?
યુલરનું કાર્ય છે.
n માં 1 ઓછા 1 by n.
૧ ઓછા ૧ બાય બી.
૧ માં માઇનસ ૧ માં સી.
જ્યાં, એ, બી, સી અવિભાજ્ય છે.
તેથી, આ યુલરનું કાર્ય છે.
તેથી, યુલરના પ્રમેયમાં યુલરના ફંક્શનનો ઉપયોગ શું છે?
યુલરના પ્રમેયમાં યુલરના કાર્યનો ઉપયોગ છે.
ધારો કે, આપણી પાસે છે.
શક્તિ એ ફી એન છે.
n વડે વિભાજિત થાય છે.
આપણી પાસે આવો અપૂર્ણાંક છે.
આનો બાકીનો ભાગ કેટલો છે?
તો, આનો બાકીનો ભાગ શું છે?
આનો બાકીનો ભાગ હંમેશા ૧ રહેશે.
૧ આવશે.
આમાં શું સ્થિતિ હોવી જોઈએ?
તે એ અને એન સહ-પ્રાઇમ છે.
તે કો-પ્રાઇમ હોવું જોઈએ.
અમે એ અને એન વિશે જણાવ્યું છે.
અને શું હશે ફી એન?
યુલરનું કાર્ય.
શું હશે ફી એન?
યુલરનું કાર્ય.
ધારો કે, આપણે કોઈ પ્રશ્ન પૂછીએ છીએ.
કો-પ્રાઇમને લગતો પ્રશ્ન.
આ પ્રશ્નમાં આપણે શું કરી શકીએ?
કો-પ્રાઇમને લગતો પ્રશ્ન.
જેમ કે, જો આપણે કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા લઈએ.
7 લો.
આથી, આપણે 39 ભાગ્યા 7 લઇ રહ્યા છીએ.
39ની કોઈ પણ શક્તિ.
તે જ.
હું શક્તિને કહીશ.
જે પણ શક્તિ આવવી જોઈએ.
તે આવવું જોઈએ.
ફી 7.
તો, ફી 7 ની કિંમત શું હશે?
ધારો કે, આપણી પાસે ૬ છે.
હવે, હું તમને કહું છું.
મેં તમને કેવી રીતે કહ્યું?
કે ફી 7ની કિંમત 6 છે.
હું તમને કહું છું.
રાહ જોવી.
આપણે શું શોધી કાઢવું જોઈએ?
આપણે આ જથ્થાનો બાકીનો ભાગ શોધી કાઢવો પડશે.
એટલે સૌથી પહેલાં તો.
આ અને આ જુઓ.
ઉપાય.
ભાજક અને શક્તિ વચ્ચે શું સંબંધ છે?
આ પી માઇનસ ૧ સાથે કરી શકાય છે.
p ઓછા 1.
કારણ કે, આપણી પાસે પ્રાઇમ છે.
આપણી પાસે p ઓછા 1 છે.
તેથી, તેને પી માઇનસ 1 સાથે કરવાનો પ્રયાસ કરો.
હું તમને યુલરના પ્રમેય પરથી કહું છું.
ક્યાં તો યુલર અથવા યુલરનું કહો.
એ જ છે.
તો, ફી 7.
સૌથી પહેલાં તો આપણી પાસે શું હોવું જોઈએ?
તે જરૂરી નથી.
એ જરૂરી નથી કે n એ અવિભાજ્ય છે.
યુલરના પ્રમેયમાં આ નોન-પ્રાઇમ નંબર હોઈ શકે છે.
તેથી, જો આપણી પાસે આ હોય તો.
જે હોય તે.
તેની ફી હાજર હોવી જોઈએ.
આપણી પાસે અહીં એન છે.
n ની કિમત 7 છે.
અને a નું મૂલ્ય શું છે?
a ની કિંમત 39 છે.
તેથી, પ્રથમ શરત જે આપણે તપાસવી પડશે.
આ બંને શું હોવા જોઈએ?
કો-પ્રાઇમ.
તેથી, બંને કો-પ્રાઇમ છે.
કારણ કે 7 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
અને અવિભાજ્ય સંખ્યાને તેના પોતાના બહુવિધ હોય છે.
તેથી, તે વિભાજ્ય બને છે.
બાકી, આ બંનેમાં કશું સામાન્ય નથી.
તો, તેમનું એચસીએફ શું છે?
૧ છે.
તેથી, આપણી પાસે કો-પ્રાઇમ નંબર છે.
હવે, 7 ની ફી કેવી રીતે શોધવી?
7ની ફી.
જો આપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાના અવયવીકરણમાં 7 લખીએ તો.
તો 7 નહિ આવે.
કારણ કે 7 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આથી, આપણે 7 ને 7 પાવર 1 તરીકે લખી શકીએ.
તેથી, તે 7 થી 1 ઓછા 1 બાય 7 થઈ જશે.
આ તેનું યુલરનું કાર્ય હશે.
તેનો ઉકેલ લાવો.
તે 7 ઓછા 1 બરાબર 6 બાય 7 થઈ જશે.
7 ઓછા 7 બરાબર 6.
તો, અહીં પણ 6 છે.
તેથી, તે n દ્વારા A પાવર phi n બની જશે.
અને એન શું છે? 7.
A અને n એ સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
જમણો? હવે, હું તમને કહું છું કે મેં તે કેવી રીતે લખ્યું છે.
મેં અવિભાજ્ય સંખ્યાના ૫ કેવી રીતે લખ્યા.
કેવી રીતે મેં 7 માંથી 6 લખ્યું.
તેથી, કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યાની ફી.
એટલે કે, પી.ની ફી.
પ્રોપર્ટીની નોંધ કરી શકો છો.
કોઈપણ પ્રધાન સંખ્યાનું યુલરનું ફંક્શન P માંથી 1 કમ હશે.
P ઓછા 1 એ P ની ફી છે.
તેથી, તે મિલકત લાગુ કરો.
પછી, આનો શેષ ભાગ કેટલો છે? શેષ ભાગ 1 હોવો જોઈએ.
તો પછી, આનો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે? 1.
જો તેં તે મિલકત સાથે આવું કર્યું હોત.
જે મેં ફેર્મેટના પ્રમેયથી શરૂઆતમાં કર્યું હતું.
ફર્મેટનો પ્રમેય શું હતો?
જો આપણી પાસે માત્ર એક જ પાવર P ઓછા ૧ ભાગ્યા P હોય તો.
તો પછી, આનો બાકીનો ભાગ કેટલો હોવો જોઈએ? 1.
તો, એને પણ 1 આવશે. અને જુઓ, આનેક શું આવશે?
માત્ર 1.
હું આશા રાખું છું કે તમે સમજી ગયા હશો.
પાવર એન માટે પાવર એન વત્તા બી.
પાવર માટે એન.
એ પાવર એન ને પાવર એન માં માઇનસ બી માટે, આનું શું થશે?
આના પર પણ બે કેસ હશે. કેમ કે શક્તિ જ વિચિત્ર છે કે બેકી છે.
ધારો કે જો આપણી પાસે n હોય, તો n એટલે શું? એન વિચિત્ર છે.
તો આના પરિબળો શું હશે?
જો n જ વિચિત્ર હોય, તો a મિનસ b તેનું ફેક્ટર હશે.
એ માઇનસ બી તેનું પરિબળ હશે.
એટલે કે n પાવર n ને બાદ કરતા b પાવર n એ જ્યારે n વિચિત્ર
હોય ત્યારે બાદબાકી b વડે વિભાજ્ય છે.
અને જ્યારે n બેકી થઈ જાય છે,
જો n સમાન બની જાય, તો પછી આપણને આ પરિબળ પણ મળશે.
પછી પણ આપણને તેના પરિબળ તરીકે માઇનસ બી મળશે.
અને આપણે એક વધુ ફેક્ટર પણ મળશે, જેમાં પ્લસ બી હોઈ શકે છે.
પછી તેમાં બે ફેક્ટર હશે, જેમાં એક પ્લસ બી અને એક માઇનસ બી
હોઈ શકે.
શું તમે આ સમજી ગયા?
અને જો આ બાબતમાં પણ આપણી પાસે એન હોય તો પછી આપણી પાસે કશું
જ નથી.
ન તો a વત્તા b તેનું પરિબળ હશે, કે ન તો બાદબાકી b.
આટલું નોંધી લો.
હવે પછીનો મુદ્દો આપણી પાસે હશે,
આ પ્રકારનું ફોર્મ હોય, ax પ્લસ k, એની ભાગ આ વડે કરવી હોય.
અને આમાં, ન્યૂમરેટરમાં કોઈ સંખ્યાનો પાવર હોય છે, n હોય છે.
તો પછી શું થશે?
તો પછી આનો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
આ મુદતનો બાકીનો ભાગ હશે,
તે પાવર એન માટે કે હશે.
તેનો શેષ પાવર એન માં k હશે.
જે પણ એનની શક્તિ હશે, તે અહીં જશે.
આવું કેમ થશે?
જોઈએ, જો અમે તેને અલગ કરીએ તો અમે તેને જ અલગ જ ગુણાકાર કરી
શકીએ.
કારણ કે n વખત, આ ટર્મ કેટલી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવશે?
તે n વખતો ગુણાંકિત થશે, કારણ કે n ની શક્તિ છે.
જો અમે તેને જોડાઈથી વિભાજિત કરીએ તો, ત્રણ શરતો પ્રાપ્ત થશે
જેમાંથી બે શરતો હશે.
x પર a વત્તા k by a, તેનો શેષ.
આ રીતે, આપણને n સમય મળશે.
આ એ જ વાત છે.
એક પેકેટ વિશે માહિતી આપું છું, જેથી તમે n વખત કરી શકો.
તો, આ કુલ શું છે?
એન વખત.
આ શેષ છે.
પછી આ શેષ પણ આમાં વહેંચવામાં આવે છે.
તેથી, એક્સ બાય એ.
આમાં, a ને સંપૂર્ણપણે a સાથે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
અમને ઉપરનું પરિબળ મળી રહ્યું છે, જે તેને કાપશે.
તો, આનો બાકીનો ભાગ કેટલો હશે?
હંમેશા શૂન્ય.
કારણ કે આ ઉપલો શબ્દ આમાંથી કાપી રહ્યો છે એ.
જો આપણે x ને a વડે ગુણીએ, તો આપણને ax મળશે.
તેથી, અમને બાકીની રકમ મળી.
શૂન્ય મળે છે.
એ જ રીતે, a દ્વારા k નું શું થશે?
a દ્વારા k નો બાકીનો ભાગ k હશે.
તો, કુલ શૂન્ય વત્તા k કેટલા છે?
અંતિમ જવાબ છે કે.
a નો બાકીનો ભાગ k છે.
તો, જો અમે n વખત જોઈએ તો આ વસ્તુને ગુણાકાર કરીને k n મળશે.
આપણે આ રીતે k n વખત લખી શકીએ છીએ.
k નો પાવર n છે.
શું આપણે લખી શકીએ?
હવે, આપણી પાસે આનો ઉપ-સિદ્ધાંત છે.
ધારો કે, આપણું શું થાય છે?
જો kનું મૂલ્ય 1 થાય, તો પછી શું થશે? જો kનું મૂલ્ય 1 થાય તો
આપણે કંઈ કરવાનું જ નથી પડતું.
આપણે અહીં કે ને બદલે ફક્ત ૧ મૂકવો પડશે.
અને જવાબમાં પણ આવું જ થશે.
તેથી, આમાંથી એક નવી વસ્તુ પ્રાપ્ત થાય છે.
ax વત્તા 1 નો બાકીનો ભાગ n વડે ભાગશે.
દ્વારા વિભાજિત એ.
અને ઉપરોક્તની શક્તિ શું હોવી જોઈએ? n.
આપણને ૧ ની બાકીની રકમ મળશે.
કારણ કે, અમે 1 ની કોઈપણ વસ્તુને શક્તિ આપીશું.
એનની શક્તિ પણ આવવી જોઈએ.
પરંતુ, જે પણ શક્તિ આપણે 1 પર ધરાવીએ તેનો જવાબ શું?
હંમેશા 1.
ax પાછળ 1 ની શક્તિ n થી ભાગીને a ના શેષથી શેષ મેળવીશું.
જો આપણે તે જ જોઈએ, જો આપણને વત્તાને બદલે માઇનસ મળે.
પ્લસના બદલે શું આવશે?
માઇનસ કે.
તો પછી આપણે કશું જ કરવાનું રહેતું નથી.
આપણે k ને બદલે માઇનસ k સાથે બદલીશું.
પછી ax માંથી k ઘટાડીને બાકીનો ભાગ a થી ભાગ્યા n પાવર સાથે
મળશે.
તેનો શેષ પાવર એન માં માઇનસ કે હશે.
પાવર એન ને બાદ કરતા કે.
હવે, આ મુજબ, ઉપ-સિદ્ધાંત શું હશે?
જો આપણી પાસે k1 હોય તો.
આ કિસ્સામાં, બીજા કિસ્સામાં.
તો, શું થશે?
પાવર એન ને માઇનસ 1.
તે આપણને એક અલગ જ જવાબ આપશે.
તો, શું થશે?
શેષ.
આ તેનો ઉપ-સિદ્ધાંત છે.
એ શેષ ax બાદબાકી 1 છે અને n પાવર n ને a વડે ભાગ્યા છે.
શું થશે?
તેના બે મૂલ્યો આવશે.
એક માઇનસ ૧ હશે.
એક હશે 1.
કેમ? કારણ કે તેનો જવાબ માઇનસ 1 ટુ ધ પાવર એન હશે.
શક્તિના ઓછા ૧ એ આપણને બે શક્ય મૂલ્યો આપી શકે છે.
એટલે કે, તે આપણને માઇનસ 1 આપી શકે છે.
જ્યારે આપણી પાસે એન હોય, ત્યારે શું થશે?
જો આપણી પાસે n હોય, તો તે વિચિત્ર હશે.
અને તે આપણને 1 મૂલ્ય આપશે.
જો આપણી પાસે એન હોય, તો તે સત્તા પણ હશે.
તેથી, તમે આ કરો કે ન કરો, તમે આ કરો છો.
જો હું તમને આમાં વધુ એક ઉપસિદ્ધાંત બતાવું તો.
તમને આ યાદ છે.
એક મિનિટ કે અડધી મિનિટ લઈને તેને યાદ રાખો.
પછી, હું તમને એક વધુ ઉપ-સિદ્ધાંત કહીશ.
તેનો હવે પછીનો ઉપ-સિદ્ધાંત શું હોઈ શકે?
ધારો કે, હવે પછીનો ઉપસિદ્ધાંત તેની સાથે સંબંધિત છે.
સમાન પ્રકાર સાથે સંબંધિત.
ધારો કે, આપણી પાસે n પાવર n ને ઓછા ૧ વડે ભાગ્યા હોય તો તે
છે.
એ જ શેષ પૂછવામાં આવે છે.
બાકી શું હશે?
તો, આપણે આ કેવી રીતે કરીશું? તમે જુઓ, પાવર એન આવી રહ્યો છે.
અને છેલ્લામાં પણ પાવર એન હતો.
તો, આ પ્રકારમાં, આપણે શું કરીશું?
અમે તેને ઘટાડીશું.
આપણે તેને આ પ્રકારમાં કેવી રીતે ઘટાડી શકીએ?
તમે જુઓ, a નીચે હતો તેને x ના ગુણાકારમાં ઉપર લાવવામાં આવ્યો.
તેથી, આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ છીએ.
ઉપર પણ આપણે શું લાવવાનું છે?
આપણે માઇનસ ૧ લાવવું પડશે.
તેથી, અમે આ લખીએ છીએ.
જો અમે તેમાં માઇનસ 1 અને પ્લસ 1 મૂકીએ તો કોઈ સમસ્યા નથી.
કારણ કે, માઇનસ 1 વત્તા 1 શું આપશે?
0 આપશે.
તેથી, તે તેમાં કોઈ અસર અથવા પરિવર્તન લાવી રહ્યું નથી.
તેથી, આ કરો.
એક માઇનસ 1 વત્તા 1.
અને આ આખી શક્તિ n બાકી રહી જાય છે.
આખી શક્તિ એન ત્યાં છે.
અમે તેની અંદર કરી રહ્યા છીએ.
તેને ઓછા ૧ વડે ભાગવામાં આવે છે.
આ માટે આપણે શું શોધવાનું છે?
શેષ.
આ બંને બાબતો સમાન છે.
તેથી, તમે જુઓ, બાદબાકી ૧.
આ શબ્દ ૧ છે અને આ ૧ છે.
બંને સરખા હોવા જોઈએ.
એક કે જે x ની ઉપર હતું, તે જ a નીચે હતું.
તેથી, ધારો કે જો આપણે આમાં x નું મૂલ્ય લઈએ, તો 1.
એટલે કે, માઇનસ 1. માં અમારો એક વર્ગ
ભવિષ્ય.