બધાને નમસ્તે, એપ્ટીટ્યૂડની પ્રથમ વ્યાખ્યાન શ્રેણીમાં આપનું
સ્વાગત છે.
આજે આપણે ક્વોન્ટિટેટિવ એપ્ટીટ્યૂડ કરીશું.
જેનો પહેલો વિષય અમારી નંબર સિસ્ટમ હશે.
જે એપ્ટીટ્યૂડમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને સરળ વિષય માનવામાં આવે
છે.
જો અમને સંખ્યાઓ ન માલૂમ હોય, તો અમે ગણિત કેવી રીતે કરીશું?
તમે સમજી શકો છો કે સંખ્યાઓ ગણિતનો આધાર છે.
અથવા ગણિતનો પાયો.
તેથી સંખ્યાઓ એ ગણિતનો પાયો છે.
સંખ્યાઓ વિના, આપણે ગણિત શરૂ કરી શકીશું નહીં.
સમાન રીતે, જ્યારે અમે સંખ્યાઓ જાણીશું તો અમે તેમની શ્રેણી
પણ જાણી જોઈએ.
કયો નંબર કઈ કેટેગરીમાં આવે છે?
આજે આપણે આ લેકચરમાંથી શીખીશું કે, સંખ્યાઓની શ્રેણીઓ શું છે,
દશાંશની શ્રેણીઓ શું છે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓની શ્રેણીઓ શું છે,
જટિલ સંખ્યાઓ શું છે.
આ બધું આજે આપણે આ વ્યાખ્યાનમાં શીખીશું.
તો ચાલો શરૂ કરીએ.
પ્રથમ આંકડા જે તમે વિચાર કરીશું, કોઈ પણ બાળકના મનમાં સૌથી
પ્રથમ વાત જે આવશે તે છે, ગણતરીની સંખ્યાઓ. ૧, ૨, ૩ વગેરે
વગેરે.
તો બાળક ગણવાનું શરૂ કરવાથી જે ગણતરી નંબરો આવે છે, કે પછી ૧,
૨, ૩ થી ગણતરી શરૂ કરીએ ત્યારે પછી જે નંબરો આવે છે, તેઓ કઈ
શ્રેણીમાં આવશે?
તેમને આપણા નેચરલ નંબર કહેવામાં આવશે.
કારણ કે આપણે પ્રાકૃતિક રીતે આવી રહ્યા છીએ અને ગણતરી સંખ્યાઓ
પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. પછી જો આપણે આમાં એક
સંખ્યા ઉમેરીએ જે ભારતનો દિવસ છે, અર્યભટ્ટ સાહેબજીનો, જે
કેવળ 0 છે. જો આપણે આ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં 0 ઉમેરીએ તો આ
સમૂહ પૂરો થશે.
હોલ નંબર સેટ પર કોલ કર્યો.
તો ચાલો આપણે લખીએ.
કુદરતી સંખ્યાઓ વિશે હું તમને શું કહ્યું હતું? ૧, ૨, ૩ વગેરે
વગેરે. ૧ કરોડ, ૨ કરોડ પછી જે પણ આંકડા આવે છે, તે પછી જેટલા
પણ આંકડા આવે છે, તે બધા શું બનશે?
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ.
જુઓ તેઓ કેવી રીતે આગળ વધી રહ્યા છે.
1 માં, જો આપણે એક પગલું આગળ વધી રહ્યા છીએ, તો 2 આવે છે.
2 માં, જો આપણે એક પગલું આગળ વધી રહ્યા છીએ, તો 3 આવી રહ્યું
છે.
જો આપણે સંખ્યાઓમાં એક પગથિયું આગળ વધીએ, તો તેઓ આપણી કુદરતી
સંખ્યાઓ કહેવામાં આવશે.
એ જ રીતે, સંપૂર્ણ સંખ્યા શું હશે?
1 થી શરૂ કરવાને બદલે, આપણે ક્યાંથી શરૂ કરીશું?
અમે 0 થી અમારા પગલાં શરૂ કરીશું.
થી 0.
તેથી આપણે 0 થી શરૂઆત કરીશું.
પછી આપણે એક ડગલું આગળ વધીશું.
આગળ શું આવશે? 1.
પછી આપણે એક ડગલું આગળ વધીશું.
2.
પછી ૩.
વગેરે વગેરે.
તો આ કેટેગરી શું છે?
તે પૂર્ણ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે.
તેથી કુદરતી સંખ્યાઓ ૧ થી ૦ સુધી જશે.
અને આખી સંખ્યા ક્યાંથી આવશે?
આખી સંખ્યાઓમાંથી, ત્યાં એક વધુ ઉમેરો છે.
એટલે કે 0.
તેથી જો આપણે 0 નો સરવાળો કરીએ, તો તે સંપૂર્ણ સંખ્યા બની જશે.
હવે આપણે આગળ વધીશું.
સંપૂર્ણ અને કુદરતી નંબરો, જેને તમે કેવું કહો તેને, તેમાં
ઉપ-વર્ગો પણ છે.
તમે ઓડ-ઇવન નિયમ વિશે સાંભળ્યું જ હશે.
ઓડ-ઇવન નંબર.
તે ક્યાંથી આવ્યો?
તે ગણિતમાંથી છે.
એકી સંખ્યા શું છે?
બેકી સંખ્યા એટલે શું?
તો પછી તમે અવિભાજ્ય નંબર વિશે સાંભળ્યું જ હશે.
તેથી અમે આ બધાનો તેમની પેટા-કેટેગરીમાં અભ્યાસ કરીશું.
પ્રાકૃતિક અથવા સંપૂર્ણ સંખ્યાઓની પેટા-શ્રેણીમાં.
એટલે સૌથી પહેલાં તમે ઓડ નંબર, પછી બેકી નંબરનો અભ્યાસ કરશો.
આપણે જે આંકડાઓથી શરૂઆત કરી હતી, આપણે કુદરતી સંખ્યાઓની શરૂઆત
ક્યાંથી કરી હતી?
૧, ૨, ૩થી તા.
અમે 1થી શરૂઆત કરી હતી.
તો જો આપણે 1 લઈએ, તો તે કેવી રીતે બનશે?
વિચિત્ર સંખ્યા.
પછી આગળ વધવા માટે એક પગ ના બદલે બે પગ આગળ વધવાનું હોય છે.
જો આપણે એક ડગલું આગળ વધીશું, તો આપણને 2 મળશે.
પરંતુ જો આપણે બે પગલા લઈએ, તો આપણને 3 મળશે.
તો 3નું શું થશે?
વિચિત્ર સંખ્યા.
તેથી બે સ્ટેપ પછી, ૧ થી કેટલાક સંખ્યાઓ મળે તેમની પ્રકારે
કેવી રીતે બનશે?
વિચિત્ર સંખ્યાઓ.
તો પછી દોડ સાથે એકી સંખ્યાનું શું થશે? ૧, ૩, ૫, ૭ વગેરે ઓડ
નંબર આવી ગયા છે.
હવે, બેકી સંખ્યા.
ઇવન અને ઓડ શું છે?
એકબીજાની વિરુદ્ધ.
આ બેમાંથી, આપણને શું મળે છે?
કુદરતી સંખ્યાઓનો આખો સમૂહ.
તો 2નું ટેબલ સૌ કોઈ જાણે છે.
2 એકમ 2, 2 બે એ 4, 2 ત્રણ એ 6 છે.
તો જેવું કોઈ પણ સંખ્યા આવે છે, ૨, ૪, ૬, ૮, ૧૦, ૨ના
કોષ્ટકમાં જેમ કોઈ પણ સંખ્યા આવે છે, તેને આપણે ક્યાંમાં લાગુ
કરીશું? આપણે તેને બેજો સંખ્યા કહીશું.
તો પછી બેકી નંબરોનું પરોક્ષ રીતે શું થશે?
બધી સંખ્યાઓ જેને ૨ ના કોષ્ટકમાં આવી રહી છે, કેટલીક કહી શકાય
છે કે, ૨ ના કોષ્ટકમાં આવતી બધી સંખ્યાઓ.
તો ૨, ૪, ૬, ૮, ૧૦ વગેરે વગેરે.
તો જુઓ,
હું તમને કહ્યું હતું કે જો આપણે ૧ થી વિષમ સંખ્યાથી શરૂ
કરીએ, તો જો આપણે ૨, ૨ ના પગલાં લઈએ, તો આપણે બેકી સંખ્યા પણ
મળશે. સાથે સાથે, જો આપણે બેજ સંખ્યાઓ કહીએ છીએ, તો આપણો બેજ
નંબર 2 થી શરૂ થાય છે કે નહીં? જો આપણો બેકી નંબર 2 થી શરૂ
થાય છે, તો આપણે...
બે ડગલાં આગળ વધશે. એક પગલું અહીં છે, જો આપણે વધુ એક પગલું
ભરીશું, તો 4 અહીં આવશે.
એ જ રીતે, જો આપણે બે પગલાં લઈએ, જો આપણે ૨ થી શરૂ કરીએ અને
બે ડગલાં આગળ વધીએ, તો આપણને શું મળશે?
આપણને બેકી સંખ્યા મળશે.
તેથી એકી સંખ્યા બેકી સંખ્યા બની જાય છે.
ત્રીજું અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા શું છે?
પ્રાઇમ, બેકી સંખ્યાનું આડકતરી રીતે શું થશે?
જેમાં ૨ના ટેબલમાં આવતા સમસ્ત સંખ્યાઓ અને વિરોધમાં આવતી બાકી
સમસ્ત સંખ્યાઓ જેમાંથી નથી આવતી, તેઓ વિષામ સંખ્યાઓ કહેવામાં
આવશે.
હવે અવિભાજ્ય નંબરનું દ્રશ્ય શું છે?
કોનું કોષ્ટકમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા આવી રહી છે?
નથી આવી રહી.
તેથી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય છે.
દરેક જણ પ્રાઇમ, એમેઝોન પ્રાઇમ લેશે.
એ જ રીતે, તમે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને જોડી શકો છો.
જે માત્ર અને માત્ર છે.
પ્રાઇમમાં એક ખાસ વાત છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની વિશેષતા એ છે કે તેની કોઈપણ ગુણાકાર સાથે
જોડાયેલા કોષ્ટકમાં નથી આવતો.
1ના કોષ્ટકમાં, બધું જ આવશે.
પ્રાઇમ નંબર એવા નંબરો છે જે ફક્ત તેમના પોતાના કોષ્ટકમાં આવે
છે અને કોઈના કોષ્ટકમાં નહીં આવે.
તો સૌ પ્રથમ, અવિભાજ્ય સંખ્યા શું હશે?
2 હશે.
આપણે 2 લખતા નથી, કારણ કે આપણે તેમાંથી 1 ને બાકાત રાખીએ છીએ.
આપણે 2થી શરૂઆત કરીએ છીએ.
તો સૌ પ્રથમ, 1 પછી શું આવે છે? 2 આવે છે.
એટલે ૨ માત્ર તેના પોતાના ટેબલમાં જ આવે છે, અને પોતાના સિવાય
કોઈના ટેબલમાં નહીં.
તો 2 કેવી રીતે બને છે?
પ્રાઇમ નંબર.
પછી આવે છે 3.
3 કોનું ટેબલ આવે છે?
પોતાના સિવાય.
તે કોઈના ટેબલમાં આવતું નથી.
તે માત્ર તેના પોતાના કોષ્ટકમાં જ આવે છે, અને ૧ ના કોષ્ટકમાં
આવે છે.
આથી ૩ એ બીજો અવિભાજ્ય નંબર બને છે.
પછી આવે છે 4.
તો 4 3 પછી આવે છે.
4 કોનું ટેબલ આવે છે? ૪ ૧ ના કોષ્ટકમાં આવે છે.
4 તેના પોતાના ટેબલમાં આવે છે.
પરંતુ ૪ પણ ૨ ના કોષ્ટકમાં આવે છે.
2, 2 એ 4 છે.
તો 4 કેવી રીતે બને છે?
નોન-પ્રાઇમ નંબર.
તેથી ૪ એ આપણો અવિભાજ્ય નંબર નહીં હોય.
પછી 5 આવે છે.
5 કોનું ટેબલ આવે છે?
તે તેના પોતાના કોષ્ટકમાં આવે છે, અને ફક્ત ૧ ના કોષ્ટકમાં જ
આવે છે.
તે બીજા કોઈના ટેબલમાં આવતું નથી.
તેથી ૫ એ ત્રીજો અવિભાજ્ય નંબર બને છે.
એ જ રીતે, 1 થી 10 માં કેટલી સંખ્યા હોય છે? 2, 3, 5, 7.
આપણી પાસે ૨, ૩, ૫, ૭ કેવી રીતે છે?
બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ૧ થી ૧૦ ની વચ્ચે હોય છે.
પછી 10, 11 આવે છે, 13 આવે છે, અને 17 આવે છે, અને એમ ને એમ
આગળ.
આ રીતે આપણી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પણ વધતી જ રહે છે.
નવા વૈજ્ઞાનિકો શોધે છે કે છેલ્લો પ્રાઇમ નંબર શું હશે,
છેલ્લો પ્રાઇમ નંબર શું નથી હોય, તે કેટલું આગળ વધી રહ્યું છે.
આ બધું જ આપણો અવિભાજ્ય નંબર બની ગયો છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા પછી, આપણે બીજી સંખ્યા સાંભળી હશે.
કમ્પોઝિટ નંબર.
કમ્પોઝિટનો અર્થ શું છે?
કોમ્પોઝિટ એટલે બે કિંમતી વસ્તુઓનું જોડકાર બનાવેલું અથવા વધુ
વસ્તુઓનું જોડકાર બનાવેલું છે.
તો કોમ્પોઝિટ નંબર શું હશે? પછી તમે ફેક્ટર્સ વાંચો છો, તેથી
હું આ શબ્દ વપરાશ કરી રહ્યો નથી. ફેક્ટર્સ, વિભાજ્ય વગેરે.
હું તમને કહું છું કે હવે આપણે જે વાંચી રહ્યા છીએ તેનાથી
સંબંધિત.
તો આપણા પોતાના ટેબલમાં, અર્થાત બીજી બે સંખ્યાના ટેબલમાં,
આપણે તેને લખી શકીશું. તો તે નંબર શું હશે?
કમ્પોઝિટ નંબર.
જેમ કે મેં હમણાં 4 લખ્યું છે.
મેં કહ્યું કે ૪, ૪ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
પરંતુ જો 4 લખીએ, તો તેને કેવી રીતે લખી શકીએ? 4 બરાબર 2 ગુણા
2 છે.
તેથી આ બીજા નંબરના મલ્ટીપલમાં લખવામાં આવી રહ્યું છે.
તે આપણા સિવાયના અન્ય નંબરના ગુણાંકમાં લખવામાં આવી રહ્યું છે.
તો આ શું છે?
કમ્પોઝિટ નંબર.
અમને 4 કેવી રીતે મળ્યા?
કમ્પોઝિટ.
એજ રીતે, 5 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આપણે તે સિવાય અન્ય કોઈ ગુણાકારમાં ૫ લખી શકતા નથી.
હવે ચાલો આપણે 6 જોઈએ.
આપણે 6 કેવી રીતે લખી શકીએ?
2 થી 3.
આપણે તે લખી શકીએ છીએ.
6 સિવાય, અમને અન્ય નંબરો મળ્યા છે જેમના ગુણાકાર પણ 6 છે.
સંમિશ્રિત સંખ્યા એ સંખ્યાની સૌથી નાની સંમિશ્રિત સંખ્યા છે.
એ જ રીતે, જો આપણે પ્રાઇમમાં જોઈએ, તો બધું 2 થી શરૂ થાય છે.
તો, આપણે 2 કેવી રીતે મેળવી શકીએ?
અમને ૨ નાના પ્રાઇમ તરીકે મળે છે.
અને આ સૌથી નાનું પ્રાઇમ છે.
તેની ઉપર, જુઓ કે આપણને કઈ કેટેગરીમાં 2 મળે છે?
ઓડ કે ઇવનમાં?
આપણને તે બેકી સંખ્યામાં મળે છે.
તેથી, આપણી પાસે ફક્ત એક બેકી સંખ્યા છે, જે અવિભાજ્ય છે.
તો, 2 ની વિશેષતા શું છે?
બે ખાસિયતો છે.
એક છે સૌથી નાનો અવિભાજ્ય અંક.
અને બીજું, તે એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
આ કોની વાત કરે છે?
આ વાત કરી રહ્યા છે 2ની.
બેકી સંખ્યાઓમાં માત્ર ૨ એક છે જે સૌથી નાની પ્રાઇમ સંખ્યા છે.
એ જ રીતે, હવે પછીનો નંબર શું છે? 3.
૩ પણ નાનું છે પણ ૨ કરતા મોટું છે.
તેથી, આપણે તેને નાનામાં નાનું નહીં કહીએ.
તો, 3 એટલે શું? 3 એ પ્રથમ વિચિત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
એ જ રીતે, આપણે હવે પછીની કેટેગરી કરીશું.
આ કોની સાથે સંબંધિત છે?
આ ફક્ત કુદરતી સંખ્યા અને સંપૂર્ણ સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે.
હવે, હવે પછી આપણી પાસે કુદરતી અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ હશે.
જુઓ, આપણે એક પછી એક આગળ વધી રહ્યા છીએ.
૦ થી એક પગથિયું આગળ ૧ છે.
પછી ૧ થી એક પગથિયું આગળ ૨ છે.
પરંતુ આપણે જીવનમાં આગળ વધીએ છીએ.
પરંતુ જીવનમાં ક્યારેક આપણે પાછળ જતા રહીએ છીએ.
આપણી પાસે પતન પણ છે.
તો, જો આપણે 0 ની પાછળ જવું પડશે, તો પછી શું થશે?
તો, ત્યાં કેટલીક સંખ્યાઓ પણ છે.
આપણા વાસ્તવિક જીવનમાં, આપણે શું થશે તે જોવા માટે સમર્થ નથી.
દા.ત., આપણે ૧ જોઈ શકીએ છીએ.
એક બિસ્કિટ.
એક ટોફી.
પરંતુ શું આપણે માઇનસ 1 કે નેગેટિવ જોઈ શકીએ છીએ?
શું આપણે માઇનસ ૧ ટોફી અથવા માઇનસ ૧ બિસ્કિટ જોઈ શકીએ?
ના આપણે નથી કરી શકતા.
તેથી, જો આપણે 0 થી એક પગથિયું પાછળ જઈ રહ્યા છીએ, તો પછી કયા
નંબરો આવશે?
ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેમને નેગેટિવ નંબર્સ નામ આપ્યા છે.
તેથી, જ્યાં શૂન્ય પગથી એક પગ પાછળ જાઇએ ત્યાંથી ઋણાત્મક
સંખ્યાઓ શરૂ થશે.
તો, જ્યારે તેઓ નકારાત્મક બાબતમાં આવે છે, ત્યારે આપણે
હકારાત્મક સંખ્યાઓ તરીકે કહીશું.
તો, અહીંથી આપણે નેગેટિવ સંખ્યાઓ અને પોઝિટિવ સંખ્યાઓ વિશે
બોલવાનું શરૂ કરીશું.
સારા લોકો અને ખરાબ લોકો વિશે.
તો, ચાલો આપણે આગળ વધીએ.
હવે પછી આપણી પાસે શું હશે?
પહેલો વર્ગ કુદરતી સંખ્યાઓનો હતો.
પછી આખી સંખ્યાઓ.
તે પછી તેમની પેટાકેટેગરીઓ અવિભાજ્ય, વિચિત્ર, ઇવન અને
સંમિશ્રિત હતી.
તો, હવે આપણી પાસે શું છે?
ત્રીજી કેટેગરી.
પૂર્ણ સંખ્યાઓ પછી, આપણી પાસે ત્રીજી શ્રેણી છે.
તે પૂર્ણાંકો છે.
પૂર્ણાંકોમાં, આપણી પાસે 0 છે.
હવે, આપણે શૂન્યમાંથી પૂર્ણ સંખ્યાઓ વાંચી છે.
૦, ૧, ૨, ૩ વગેરે.
અમે એક સમયે એક પગલું આગળ વધી રહ્યા છીએ.
હવે, જો આપણે એક પગથિયું પાછળ જઈએ તો.
આપણે ૦ થી એક પગથિયું પાછળ જવું પડશે.
તેથી, અમે 0 થી એક પગથિયું પાછળ જઈ રહ્યા છીએ.
તેથી, આપણે પાછા જવા માટેનું ચિહ્ન સૂચવીશું.
આપણે તેને નકારાત્મક સંકેત તરીકે દર્શાવીશું.
અને જો આપણે શૂન્યથી એક પગ પાછળ જઈને, તો તે નકારાત્મક ૧ બનશે.
શું તમે સમજી ગયા?
અમે ૦ થી એક પગથિયું આગળ વધી રહ્યા હતા.
તેથી, તે સકારાત્મક હતું 1.
જો આપણે શૂન્યથી એક ડગલું પાછળ જઈએ, તો તે નકારાત્મક ૧ બની
જશે.
જો આપણે 0 થી બે પગલા આગળ વધી રહ્યા હતા, તો તે સકારાત્મક 2
હતું.
જો અમને શૂન્યથી બે ડગલાં પાછળ જવાનું હોય તો તે નકારાત્મક
બનશે. અને જો અમે શૂન્યથી બે ડગલાં પાછળ જઈએ તો તે નકારાત્મક
૨ બનશે.
આ કારણે આ નકારાત્મક સંખ્યાઓની આ શ્રેણી વિપરીત દિશામાંથી શરૂ
થાય છે.
આપણે ૧, ૨ આ રીતે લખીએ છીએ.
પણ આપણે આ કેવી રીતે લખીશું?
ઓછા ૧, ઓછા ૨, ઓછા ૩.
તેથી, તે આ રીતે જશે, માઇનસ 3.
અને તે પણ 0થી એક ડગલું પાછળ જશે.
શું તમે સમજી લીધું? પૂર્ણાંકો શું છે? અને પૂર્ણાંકોનો સેટ
શું છે?
પ્રથમ, આપણને તટસ્થ 0 ની જરૂર છે.
પછી આપણી પાસે હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.
હકારાત્મક ૧, ૨, ૩ વગેરે.
પછી આપણી પાસે નકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.
ઋણ ૧, નકારાત્મક ૨, નકારાત્મક ૩ વગેરે વગેરે.
આ બે સંખ્યાઓ અનંત છે.
બંને તરફથી તા.
આ બંને નંબરો અનંત રીતે ચાલી રહ્યા છે.
કારણ કે આપણે આ સંખ્યાઓનો પ્રારંભિક નંબર જાણતા નથી.
જો તમે એમ કહો કે 1 કરોડ એ સૌથી મોટો આંકડો છે.
1 કરોડથી મોટી નથી.
તો હું કહીશ કે, 1 કરોડમાં 1 રૂપિયો ઉમેરો.
જો તમે 1 કરોડમાં 1 રૂપિયો ઉમેરો છો, તો તે 1 કરોડ 1 કરોડ 1.
તેથી, તે વધતું જ રહેશે.
જો તમે મને કોઈ નંબર આપશો, તો હું તેમાં 1 રૂપિયો ઉમેરીશ અને
તમને મોટો નંબર આપીશ.
આ ઉપરાંત સૌ કોઈ જાણે છે.
એ જ રીતે, જો તમે નકારાત્મક બાજુએ જાઓ તો.
પછી હું તેમાંથી વધુ એક સંખ્યાની બાદબાકી કરીશ.
મને કોઈ પણ નંબર આપો, નાનામાં નાનો.
હું તેમાંથી વધુ એક સંખ્યાની બાદબાકી કરીશ.
પછી હું વધુ પાછળ જઈશ.
તો, આ સંખ્યાઓ શું છે?
શું છે આ સિસ્ટમ?
તેઓ અનંત છે.
તેમનો કોઈ અંત નથી.
તેથી જ આપણે કહીએ છીએ કે તેઓ અનંત રીતે ચાલી રહ્યા છે.
તેઓ અનંત રીતે ચાલી રહ્યા છે.
તેથી, આપણી પાસે પૂર્ણાંકો છે.
પૂર્ણાંક એ શૂન્ય ધન સંખ્યાઓ છે.
જો હું પૂર્ણાંકો લખું તો.
પૂર્ણાંકોનું શું થશે?
પૂર્ણાંકમાં ત્રણ કેટેગરી હશે.
સૌ પ્રથમ તો શૂન્ય.
જે તટસ્થ છે.
તેનું કોઈ ચિહ્ન નથી.
ન તો સકારાત્મક કે ન તો નકારાત્મક.
તટસ્થ છે.
પછી આપણી પાસે હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે.
૧, ૨ વગેરે જેવી હકારાત્મક સંખ્યાઓ.
હકારાત્મક સંખ્યાઓ.
આપણી પાસે બીજું શું છે?
ત્રીજું, નકારાત્મક સંખ્યાઓ.
ઋણ સંખ્યાઓમાં ઓછા ૧, ઓછા ૨ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.
ચાલો હું તમને એક ઉદાહરણ આપું.
તમે વાસ્તવિક જીવનમાં પૂર્ણાંકોને કેવી રીતે જોડી શકો છો?
તમારી સામેની લિફ્ટ તરફ જુઓ.
હું આશા રાખું છું કે તમે લિફ્ટ જોઈ હશે.
હું આશા રાખું છું કે તમે તેનો ઉપયોગ કર્યો હશે.
આજકાલ, આપણે તેનો ઉપયોગ તમામ મેટ્રો સ્ટેશનો પર કરીએ છીએ.
જો આપણે લિફ્ટમાં ગ્રાઉન્ડ લેવલ પર નજર કરીએ તો.
જમીની સ્તર પર સંખ્યા શું સૂચવે છે?
બાજુમાં શૂન્ય લખેલું હોય છે.
જ્યારે આપણે ગ્રાઉન્ડ લેવલ પર હોઈએ છીએ, ત્યારે શૂન્ય લખવામાં
આવે છે.
માની લો કે આપણે બીજા માળે જવું પડશે.
આપણે કયું બટન દબાવીએ છીએ?
2 માટે, તે ઉપર જાય છે.
જ્યારે શૂન્યમાંથી લિફ્ટ ઉપર જઈ રહી છે.
દરેક માળ ઉમેરવામાં આવી રહ્યો છે.
સકારાત્મક સંખ્યા વધતી રહેશે.
1, 2, 3.
ત્યાં કેટલા માળ હશે?
હવે ધારો કે આપણે નીચે જવું પડશે.
આપણે નીચે કેવી રીતે દર્શાવીએ છીએ?
ધારો કે આપણે શૂન્યથી પાછા જવા માટે નીચે દર્શાવી રહ્યા છીએ.
અહીં, સકારાત્મક સંખ્યા વધી રહી છે.
હવે, જો આપણે એક માળ નીચે જવું પડે તો.
નીચે પાર્કિંગ છે.
એમાં આપણે શું કરીએ?
તેના માટે આપણે શું દબાણ કરીએ છીએ?
તમે જોયું જ હશે.
તેમાં માઇનસ 1, માઇનસ 2નો સમાવેશ થાય છે.
આવી સંખ્યાઓને નીચેની બાજુ માટે દર્શાવવામાં આવે છે.
માઇનસ 1 અને માઇનસ 2.
તે માટે નીચે ફ્લોરની સંખ્યા દર્શાવવામાં આવે છે.
હું આશા રાખું છું કે તમે પૂર્ણાંકના વિષયને સમજી ગયા હશો.
પૂર્ણાંકો શું છે?
પૂર્ણાંક પછી આપણને શું મળે છે?
અત્યાર સુધી, અમે જથ્થાની વાત કરતા હતા.
તે એક પગલું ભરવું પડશે.
અથવા એક ટોફી આપવામાં આવે છે.
અથવા તો એક ચોકલેટ આપવામાં આવે છે.
પણ, જો તારો નાનો ભાઈ તારી પાસે કંઈ માગે તો.
તમે તેને આખી વાત આપી દો.
જો તમે ચોકલેટ ખાતા હોવ તો.
જો એ તમારી પાસે ચોકલેટ માગે તો.
શું તમે તેને આખી ચોકલેટ આપો છો?
ના, ખરું ને?
તમે તેને તેનો અડધો ભાગ આપો.
અથવા તમે તેને નાનો આપો.
અથવા તો તમે તેને તેનો એક જ ટુકડો આપો છો.
તો, તે શું છે?
તે પૂર્ણ સંખ્યા જેવું નથી.
તો, તેમાં આપણને શું મળે છે?
અપૂર્ણાંકોનો ખ્યાલ ત્યાંથી શરૂ થાય છે.
તેનો અર્થ એ છે કે આપણને એક આખી વસ્તુ મળે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે આના જેવી ચોકલેટ છે.
અને આપણી પાસે આના જેવા નાના સમઘન છે.
ધારો કે, આપણી પાસે આમાંના ૫ છે.
જો આપણે ફક્ત આ જ બાજુ આપી રહ્યા હોઈએ તો.
તેનો અર્થ એ છે કે અમે અડધી ચોકલેટ આપી રહ્યા છીએ.
માની લો કે, આપણે આટલું પણ નથી આપી રહ્યા.
અમે ફક્ત આ જ આપી રહ્યા છીએ.
ટોચ પર 4.
તો, આનો અપૂર્ણાંક કેટલો હશે?
આપણી પાસે કુલ કેટલા સમઘન છે?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
કુલ મળીને, આપણી પાસે 10 ટુકડાઓ છે.
કુલ ટુકડાઓ 10 છે, પરંતુ અમે અમારા નાના ભાઈ-બહેનોને ફક્ત 4
ટુકડાઓ જ આપી રહ્યા છીએ.
તો, આપણે આ ગાણિતિક રીતે કેવી રીતે કરી શકીએ?
તમે તમારા ભાઈ-બહેનને કેટલા ટુકડાઓ આપ્યા છે?
તો, તમે તમારા ભાઈ-બહેનને કેટલા ટુકડાઓ આપ્યા છે?
તેને ઉપર લખો અને કુલ કેટલા ટુકડાઓ છે?
તેને નીચેના ભાગમાં લખો.
હા, તમે તમારા ભાઈ-બહેનને આ છોકલેટના કેટલાક ટુકડાઓ આપ્યા છે.
તેથી, અહીંથી, અપૂર્ણાંકોનો ખ્યાલ આવશે.
તેથી, પૂર્ણાંકો પછીનું મથાળું લખો.
અપૂર્ણાંકો અપૂર્ણાંકોનું ઉદાહરણ શું હશે?
અપૂર્ણાંકમાં, એક ઉપર હશે અને એક નીચે હશે.
ધારો કે, આપણે ૧/૨ લખીએ છીએ કે જે અડધું છે.
ઉપરની સંખ્યાને અંશ કહેવામાં આવે છે.
અને નીચે આપેલી સંખ્યાને છેદ કહેવામાં આવે છે.
તેથી, અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ આ પ્રકારની છે.
૧ ભાગ્યા ૨ પર
અથવા આપણે અપૂર્ણાંકમાં ૨ લખી શકીએ.
અપૂર્ણાંક પ્રકારમાં.
કેમ નહિ?
જો આપણે ભાગાકારમાં ૨ ની નીચે ૧ લખીએ.
તેથી, 1 વડે ભાગેલી કોઈપણ વસ્તુ પોતે જ હશે.
તેથી, આ અપૂર્ણાંક અંશ અને છેદના સ્વરૂપમાં છે.
તો, અમને 2 કેવી રીતે મળ્યા?
આપણે તેને અપૂર્ણાંક સંખ્યામાં કહી શકીએ.
એ જ રીતે, 3 બાય 4.
અપૂર્ણાંકમાં, ઉપરની સંખ્યા હંમેશા નાની હોવાનું જરૂરી નથી.
અથવા નીચેની સંખ્યા હંમેશા મોટી રહેશે.
તે ઊલટું હોઈ શકે છે.
જુઓ, આ 2 બાય 1 હતું.
તો, ઉપર 2 શું હતું?
તે 1 કરતા મોટી છે.
અને નીચેનો એક નાનો છે.
તેથી, ઉપરની સંખ્યા મોટી અથવા નાની હોઈ શકે છે.
એ જ વાત નીચે છે.
છેદ અંશ કરતા મોટો અથવા નાનો હોઈ શકે છે.
તેથી, છેદ પર અંશના રૂપમાં આપણે ગમે તેટલી સંખ્યા લખી શકીએ.
તે સંખ્યાને અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવશે.
શું દરેક જણ અપૂર્ણાંક સુધી સમજી શકતું હતું?
હવે, અપૂર્ણાંકો પછી, તમે લખ્યું છે તેમ ૧/૨.
૧/૨ એટલે શું? ૧/૨ એ કુલ છે. મેં શું કહ્યું?
છેદ કુલ હોય છે.
અને અંશ તે છે જે આપણે આપી રહ્યા છીએ અથવા આપણે જેનો ઉપયોગ
કરી રહ્યા છીએ.
તેથી, આપણી પાસે અંશ છે.
જેનો અમે ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ.
તેથી, આપણી પાસે કુલ 2 છે.
ધારો કે, આપણી પાસે કુલ 2 બ્લોક્સ છે.
પછીથી, કેટલા બ્લોક વપરાવવા માંગ્યા છીએ? ધરો કે, ફક્ત 1
બ્લોકનો વપરાશ કરવા માંગ્યા છીએ.
આથી, આ ભાગને ૧/૨ કહે છે.
એટલે કે, આપણે 1 ભાગનો ઉપયોગ કરવો પડશે.
કુલ કેટલા ભાગમાંથી?
2 ભાગમાંથી કુલ.
હવે, જો આપણે તેને તે રીતે જોઈએ તો.
જો આપણે તેને વિભાજિત કરીએ તો.
૧/૨ એ અપૂર્ણાંક છે.
હું તમને નવી સ્લાઇડમાં કહીશ.
તે અપૂર્ણાંક છે.
ધારો કે, ૧/૨.
તેનો અર્થ શું છે? 1 બાય 2 એટલે કે.
આપણે અંદરથી 1 લખીશું.
અને 2 આપણા વિભાજક બનશે.
જેનાથી આપણે ભાગલા પાડીએ છીએ.
તેને વિભાજક કહે છે.
અને આપણી પાસે 1 છે.
ડિવિડન્ડ .
હવે, ભાગાકાર ૨ કરો.
૧ ને ૨ વડે ભાગી શકાતો નથી.
1 તેના ટેબલમાં આવતો નથી.
તો, આપણે શું કરવાનું છે? તમે તમારા બાળકાલમાં વિભાજન શીખ્યા
કરી હોય.
અમે તેની સામે 0 મૂકીશું.
આપણે 1 પછી 1, 0 મૂકીશું.
જો આપણે અહીં 0 મૂકીએ તો.
તો પછી, આપણે ભાગફળમાં શું મૂકવાનું છે?
આપણે દશાંશ મૂકવો પડશે.
તેથી, આપણે દશાંશની સામે કંઈપણ છોડતા નથી.
દશાંશ એટલે શું?
તે એક મુદ્દો છે.
તેથી, મને 0 પોઇન્ટ કંઈક મળશે.
હવે જુઓ.
૧૦ થઈ ગઈ છે.
1ના બદલે 10 થઈ ગઈ છે.
આથી, આપણે ૧૦ ને ૨ વડે ભાગીશું.
શું આવશે?
2 ગુણ્યા 5 એટલે શું? 10.
આથી, આપણે 5 વડે ભાગીશું. 2 ગુણ્યા 5 બરાબર 10.
તો, 10 થઈ ગઈ છે.
બાકી શું છે? 0.
તેથી, જો આપણે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં લખવો હોય તો.
જો આપણે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં લખવો હોય તો.
તો પછી, આપણે ૧/૨ શું લખી શકીએ?
આપણે ૧/૨ ને ૦.૫ લખી શકીએ.
જ્યારે આપણે આના જેવા મુદ્દાનો ઉપયોગ કરવો પડશે.
પછી, આપણે આને દશાંશ સ્વરૂપ કહીએ છીએ.
હવે, તમારું દશાંશ સ્વરૂપ કેવું હશે? ૦.૫ આ દશાંશમાં જુઓ.
5ની સામે કોઈ નંબર નથી.
આપણે ૫ ની સામે ૦, ૦, ૦ લખી શકીએ.
તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.
પરંતુ, 0 ની સામે કોઈ નંબર નથી.
તો, શું થઈ રહ્યું છે?
દશાંશ અટકી રહ્યો છે.
5 પછી તેને અહીં જ રોકી દેવામાં આવે છે.
તો, આના જેવા દશાંશ સ્વરૂપો કયા છે?
અંગ્રેજીમાં સ્ટોપનું નામ શું છે?
સમાપ્ત થઈ રહ્યું છે.
તેથી, આ પ્રકારનો દશાંશ.
1 નંબર પછી, અથવા 2 સંખ્યાઓ પછી, અથવા 10 સંખ્યાઓ પછી.
તે અટકી જાય છે.
તેથી, તે દશાંશને અંત આવતા દશાંશ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
સમાપ્ત કરવાનો અર્થ એ છે કે તે સમાપ્ત થઈ રહ્યું છે.
આ દિવસોમાં, આપણે કહીએ છીએ કે નોકરીઓ આપણને સમાપ્ત કરે છે.
તે છોડી દેવામાં આવે છે.
તેનો અંત આવ્યો છે.
તેને રોકવામાં આવે છે.
તે પૂરું થઈ ગયું છે.
આવજો.
તેથી, આપણી પાસે દશાંશનો અંત આવે છે.
જે 1, 2 અથવા કેટલીક મર્યાદિત સંખ્યા પછીની છે.
મર્યાદિત એટલે કે અમુક સંખ્યાના અંકો પછી.
તેને રોકવામાં આવે છે.
તે દશાંશ સ્વરૂપ છે.
તેથી, આપણે સમાપ્ત થઈ ગયા છીએ.
હવે, જો આપણે આની વિરુદ્ધ જોઈએ તો.
પછી, નોન-ટર્મિનેટ.
શું નોન-ટર્મિનેટ થશે?
જે અટકશે નહીં.
જે ક્યારેય અટકતું નથી.
તેથી, આપણી પાસે નોન-ટર્મિનેટિંગ હશે.
તમે બે શબ્દો સમજ્યા.
અંત લાવવો અને અંત ન કરવો.
તો, તમે નવું મથાળું લખ્યું.
અપૂર્ણાંકો પછી, આગળનું મથાળું હશે.
તે કયો નંબર હતો?
અપૂર્ણાંકો ચોથા ક્રમે છે.
તેથી, આપણી પાસે 5 મો નંબર હશે.
પાંચમો નંબર દશાંશ હશે.
હવે, દશાંશની બધી શ્રેણીઓ.
દશાંશનો પ્રકાર કેવો હશે?
૦.૧૨૩ જેવું કંઈક.
અથવા ૪.૭૪૯.
આ તમામ પ્રકારની સંખ્યાઓ દશાંશ સ્વરૂપમાં હશે.
આપણે અપૂર્ણાંકથી દશાંશમાં જઈ શકીએ છીએ.
અને દશાંશથી અપૂર્ણાંક સુધી.
તમે અપૂર્ણાંકોમાંથી દશાંશ શીખ્યા છો.
હવે, આપણે દશાંશથી અપૂર્ણાંક સુધી કેવી રીતે જઈશું?
એ હું તમને કહું છું.
આપણે દશાંશથી અપૂર્ણાંક તરફ કેવી રીતે જઈશું?
ધારો કે, આપણી પાસે એક નંબર હતો.
0.123.
આપણે શું કરવું જોઈએ?
દશાંશ દૂર કરો.
તેથી, જો આપણે દશાંશ દૂર કરીએ.
જ્યારે આપણે વિભાજિત થયા.
જ્યારે આપણે દશાંશ મૂકીએ છીએ.
તેથી, અમે વિભાજક કર્યું.
જુઓ, છેલ્લા પ્રશ્નમાં.
અમે 1 સાથે 0 મૂકીએ છીએ.
જ્યારે આપણે દશાંશ ઉપર મૂકીએ છીએ.
તેથી, આપણે 1 ની આગળ 0 મૂકીએ છીએ.
એ જ રીતે, જ્યારે આપણે દશાંશ દૂર કરીએ છીએ.
આથી, આપણે ભાગાકારમાં 0 લખવું પડશે.
પ્રથમ, દશાંશ દૂર કરવા માટે આપણે 1 લખીશું.
અને બધી સંખ્યાઓ જે દશાંશની સામે છે.
બધા અંકો જે દશાંશની સામે છે.
અંકો એટલે દરેક સંખ્યા.
જે દશાંશની સામે હોય છે.
અમે ૧ ની આગળ ૦ મૂકીશું.
તો, અહીં 0.123 છે.
તો, મુદ્દા પછી શું છે? ૧, ૧ નંબર, ૨, ૩.
તો, દશાંશ પછી કેટલા અંકો હશે? 3.
આથી, આપણે 3 શૂન્ય લખી શકીએ.
અમે દશાંશ દૂર કર્યો.
અમે 1 લખ્યું હતું.
બધા અંકો જે દશાંશની સામે છે.
અમે તેમની સામે 0 મૂકીએ છીએ.
તેથી, આ અપૂર્ણાંક સ્વરૂપ છે.
આપણે દશાંશમાંથી અપૂર્ણાંક લખી શકીએ છીએ.
તેથી, આ દશાંશ 0.123 હતો.
તેથી, આપણને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપ મળ્યું.
તેથી, આપણે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
અને આપણે દશાંશને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
આ દશાંશથી અપૂર્ણાંક છે.
અને દશાંશનો અપૂર્ણાંક.
હવે, પેટા-વર્ગો કરો.
દશાંશની પેટા-શ્રેણીઓ.
હવે, મેં દશાંશની પેટા-શ્રેણીઓ લખી છે.
દશાંશની પેટા-શ્રેણીઓ.
દશાંશની ઉપ-શ્રેણીઓ. આ પ્રકારની સંખ્યાઓ આપણે પ્રાપ્ત કર્યા
છે. સમાપ્ત થતી દશાંશ અને તેની વિરુદ્ધ શું હતી તે કઈ હતી?
ધારો કે, કોઈ નંબર પૂરો થયો નથી.
ઉદાહરણ તરીકે, તમે પાઈ નંબર વાંચ્યો જ હશે.
તમે પાઈ વાંચી જ હશે.
2 Pi r ત્રિજ્યા 2 Pi r પરિમિતિ વર્તુળનું સૂત્ર. તો, પાઈ
એટલે શું?
જ્યારે તમે પ્રશ્નોમાં તેના દશાંશ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરો છો,
ત્યારે 22/7 અથવા 3.14 નો ઉપયોગ કરી શકો છો.
તમે જોઈ શકો છો કે 3.14 એ 4 પછી સમાપ્ત થાય છે.
પરંતુ, આપણે તેનો ઉપયોગ પ્રશ્નો અને આંકડાઓને હલ કરવા માટે
કરીએ છીએ.
પરંતુ, અપૂર્ણાંક અને દશાંશ સાથે 22 ને 7 વડે ભાગ કરો, જેમ કે
હું તમને શીખાવ્યું છું.
તો પછી, તમે કદી અંત પામશો નહીં.
તે ૩.૧૪૭ અને તેથી વધુ ચાલુ રહેશે.
વૈજ્ઞાનિકો આંકડા શોધી રહ્યા છે.
તો, આપણે પાઈ કેવી રીતે મેળવી શકીએ? ૨૨ બાય ૭ અથવા ૩.૧૪૭
વગેરે.
તો, આ પ્રકારના દશાંશ શું હશે?
આપણે આ પ્રકારના દશાંશ કેવી રીતે મેળવીશું?
અંત ન આવતા દશાંશ.
આ શું છે?
અંત ન આવતા દશાંશ.
હવે, એક ઉદાહરણ તરફ જુઓ.
૧/૩ તમારી પાસે એક નવું ઉદાહરણ છે.
1/3 નંબર છે.
તે અપૂર્ણાંક છે.
આપણે તેને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું પડશે.
કરી કાઢો.
પરિણામ શું આવશે?
ઉપરનો નંબર અંદર જશે.
અને, નંબર 3 વિભાજક બની જશે.
તેથી, 3 અને 1 3 ના કોષ્ટકમાંથી જતા નથી.
તેથી, આપણે એક મુદ્દો મૂકવો પડશે અને 0 મૂકવો પડશે.
તમે ઇચ્છો તેટલા મૂકી શકો છો.
હવે, તમે 1 અથવા 2 મૂકી શકો છો.
તે વાંધો નથી.
ધારો કે, આપણે ૧ મૂકીએ છીએ.
તો, 3.
3 ના કોષ્ટકમાં 10 થી નાની સંખ્યા કેટલી છે? 9 છે.
3 x 3 બરાબર 9.
તેથી, તે 0.3 થઈ જાય છે.
બાકી શું છે? 1.
જ્યારે આપણે દશાંશ ઉપલા ભાગમાં 1 બિંદુ મૂકીએ છીએ, ત્યારે
આપણને વિરામ મળે છે.
આપણે ઇચ્છીએ તેટલા શૂન્ય મૂકી શકીએ છીએ.
જો આપણે ફરીથી 0 મૂકીએ, તો તે ફરીથી 10 થઈ જાય છે.
તે એ જ પુનરાવર્તન કરી રહ્યું છે.
તેથી, તે ફરીથી 3 થી જશે.
3 x 3 બરાબર 9.
એ જ રીતે, બાકીની રકમ ફરીથી 10 થશે.
તેવી જ રીતે 0.33333 વગેરેમાં પણ વધારો થતો રહેશે.
આથી, આપણે 1 x 3 ને 0.33333 લખી શકીએ.
તેમાં વધારો થતો રહેશે.
3 x 3 અનંત રીતે વધતો જશે.
તે લૂપ બનાવશે.
આથી, આપણે 1 x 3 ને 0.33333 લખી શકીએ.
તેનો અંત આવતો નથી.
3 x 3 ચાલી રહ્યું છે.
તો, તે કોના ઉદાહરણમાં આવ્યું?
આપમેળે તે અંત ન આવવાના ઉદાહરણમાં આવી ગયું.
કારણ કે તેનો અંત આવતો નથી.
એ જ રીતે, જો આપણે જોઈએ તો, આ ઉદાહરણ છે.
નોન-ટર્મિનેટ, નોન-ટર્મિનેટ, પરંતુ આ શું થઈ રહ્યું છે?
તેનું પુનરાવર્તન થઈ રહ્યું છે.
૩ એ ફરીથી અને ફરીથી પોતાને પુનરાવર્તિત કરી રહ્યું છે.
તો, આ તેનું ઉદાહરણ છે.
નોન-ટર્મિનેશનમાં પણ બે કેટેગરી હશે.
એટલે કે, નોન-ટર્મિનેટિંગ, નોન-ટર્મિનેશન એ દશાંશ છે, પરંતુ
તે પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી, નોન-ટર્મિનેટિંગ, પુનરાવર્તિત દશાંશ, એક કેટેગરી આ છે.
તમારું ઉદાહરણ કોનું છે? ૧ બાય ૩. જેમનું ઉદાહરણ તમારી પાસે
છે તે 1/3 છે.
એટલે કે ૦.૩૩૩૩ અને તેથી વધુ.
હવે, આપણા દશાંશ પછી જે પણ સંખ્યાનું પુનરાવર્તન થાય છે,
પુનરાવર્તન થાય છે, ચાલો પુનરાવર્તન માટે વધુ એક શબ્દનો ઉપયોગ
કરીએ.
પુનરાવર્તનનો અર્થ એ છે કે તે પુનરાવર્તન કરી રહ્યું છે.
તેનો પર્યાય ફરી રહ્યો છે.
તો, તેને આટલું મોટું લખવાને બદલે, આપણે તેના પર શું મૂકીએ?
જે પણ પુનરાવર્તન થઈ રહ્યું છે, અમે તેના પર એક પટ્ટી લગાવીએ
છીએ.
દાખલા તરીકે, જો 3 નું પુનરાવર્તન થતું હોય, તો પછી આપણે તેના
પર 0.3 કેવી રીતે મૂકી શકીએ?
અને જે પણ નંબરનું પુનરાવર્તન થઈ રહ્યું છે, અમે તેના પર એક
પટ્ટી લગાવીએ છીએ.
તેનો અર્થ એ કે, દશાંશ પછી બાર શું સૂચવશે?
કે આ સંખ્યાનું પુનરાવર્તન થઈ રહ્યું છે.
ધારો કે, આપણી પાસે સંખ્યા ૧.૨૭૨૭૨૭ છે અને એમ ને એમ આગળ. તે
ફક્ત પુનરાવર્તન છે.
હવે, તમે કહેશો કે,
મેડમ, એક નંબર રિપીટ નથી થતો.
222 નું પુનરાવર્તન થતું નથી.
777 નું પુનરાવર્તન પણ થતું નથી.
પણ, તમે આ પેટર્ન જુઓ છો.
27નું પેકેટ બનાવી લો.
તેથી, પેકેટને જોતા રહો.
272727 આ બે અંકો એક જ ક્રમમાં એકસાથે પુનરાવર્તિત થાય છે.
આથી, આપણે બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જે પુનરાવર્તન થાય છે. તો આપણે
તેને બાર રૂપમાં કેવી રીતે લખીશું? ૧.૨૭ પુનરાવર્તન થાય છે
અને પર આપણે શું મૂકીશું? બાર.
આ નોન-ટર્મિનેટિંગ પુનરાવર્તિત દશાંશનું ઉદાહરણ છે.
નોન-ટર્મિનેટિંગ પુનરાવર્તન થાય છે.
સમાપ્ત અને સમાપ્ત ન થતી વિરુદ્ધ લીધે જ્યારે અમે
પુનરાવર્તનની વિરુદ્ધ મળ્યા.
આપણે પુનરાવર્તન ન કરવાનો કેસ પણ મેળવી શકીએ છીએ.
તો, શું થશે?
હવે નોન-ટર્મિનેટિંગનો બીજો કેસ હશે જે નોન-રિપિટિંગ પણ હોઈ
શકે છે.
સૌથી પહેલાં તો તે સમાપ્ત પણ નથી થઈ રહ્યું.
અને તેની ઉપર, તે પોતાને પુનરાવર્તિત પણ કરી રહ્યું નથી.
તેથી, આ પ્રકારનું ઉદાહરણ કરવામાં આવે છે.
તમે કોઈ પણ ઉદાહરણ બનાવી શકો છો.
ઉદાહરણ તરીકે, 1.47 321 437 205 6 કોઈ નિશ્ચિત પેટર્ન નથી.
ત્યાં કોઈ પેકેટ નથી.
તેનું પુનરાવર્તન થઈ રહ્યું છે.
આ એક નોન-ટર્મિનેટીંગ અને નોન-રિપીટીંગ દશાંશ સ્વરૂપનું
ઉદાહરણ છે.
તેથી, અમે અપૂર્ણાંક, દશાંશ, સ્પષ્ટપણે, ટર્મિનેટિંગ,
નોન-ટર્મિનેટિંગ, પેટા-સ્પષ્ટપણે, નોન-ટર્મિનેટિંગ, રિપિટિંગ
અને નોન-ટર્મિનેટિંગ નાં ડેસિમલ્સ પર થયું છે.
હવે, આપણી પાસે આ બધાનો સંગ્રહ છે.
આ બધું કયા કલેક્શનમાં જશે? જોઈએ.
આગળ, લખો
તર્કો.
છઠ્ઠું તર્કસંગત સંખ્યાઓ
અપૂર્ણાંક એ તે સંખ્યાઓ છે જેને આપણે P દ્વારા Q સાથે લખી
શકીએ. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકમાં આપણે અંશ અને છેદ દ્વારા P
ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.
આપણે અપૂર્ણાંકમાં વાંચીએ છીએ.
પરંતુ, અપૂર્ણાંક વર્ગમાં, તેમના બધા ઉદાહરણો નથી આવશે.
ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક સંખ્યાઓ પાસે છીને જોઈતી નથી જેને
અપૂર્ણાંક સ્વરૂપે લખી શકાય છે. પરંતુ, તેઓ તાર્કિક શ્રેણીમાં
આવશે.
તો, તાર્કિક સંખ્યાઓ કઈ છે?
લખવું.
અપુર્ણાક સંખ્યાઓ એ સંખ્યાઓ છે જે આપણી પાસે P બાય Q ના
સ્વરૂપમાં છે.
P by Q ફોર્મ.
હવે, તે વિભાજનમાં લખાયેલું છે.
તેથી, આપણે ક્યારેય શૂન્યથી ભાગાકાર કરી શકતા નથી.
તેથી, નીચેનો અંશ હંમેશા શૂન્ય સિવાયનો હોવો જોઈએ.
માટે, Q એ કદી શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
અને, P અને Q પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
Q પૂર્ણાંક હોઈ શકે અથવા P પૂર્ણાંક હોઈ શકે.
વ્યાખ્યા એ છે કે આપણે P ને પૂર્ણાંક તરીકે લઈએ છીએ.
સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને.
જો કોઈ નકારાત્મક સંકેત હોય, તો આપણે તેને અંશમાં લેવાનું
પસંદ કરીએ છીએ.
અને, Q એ કુદરતી સંખ્યા છે.
અમે પૂર્ણ સંખ્યા નહીં કહીએ.
જો તે શૂન્ય હોય, તો Q એ કુદરતી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
અને, P પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી, આ રીતે આવતી સંખ્યાઓને સંપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે
છે.
ઉદાહરણ તરીકે, 7 વિનાની 5 7 નીચે છે પી પૂર્ણાંક છે 5 નીચે 5
એક રાષ્ટ્રીય સંખ્યા છે, તેથી 7/5 એ એક અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
જો અમે ૦ વિભાજનામાં ૧ લખીએ તો ઉપર અને નીચે કોઈ પણ ૦ નહીં
હોવો જોઈએ, પરંતુ P તરફ ઉપરોકારી કોઈ પણ સંખ્યા હોઈ શકે.
ધારો કે આપણી પાસે P ને 0 તરીકે છે.
જો આપણે ૧ ને ૦ ના ભાગાકારમાં કોઇપણ સંખ્યા માં લખીએ, તો
આપણને તે જ સંખ્યા મળશે.
આપણે શૂન્યને શા તરીકે લખી શકીએ? 0 બાય 1.
એટલે ૦/૧ એ પણ P by Q ના સ્વરૂપમાં છે.
તેથી આપણને તર્કસંગત સંખ્યા મળી છે.
જો અમે તેને નકારા લખવા માંગીએ તો અમે માઇનસ ૨/૭ તરીકે લખી
શકીએ.
તેથી આ પણ તર્કસંગત સંખ્યાના રૂપમાં છે.
તેથી આ બધા અપૂર્ણાંકો, કુદરતી સંખ્યા, પૂર્ણાંક, પૂર્ણાંકો,
અને સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ પણ તાર્કિક સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં હશે.
હવે મુખ્ય વિષય દશાંશનો છે.
કોણા પ્રકારના દશાંશ અપૂર્ણાંક રેશનલ નંબરના સ્વરૂપમાં હશે
અને કોણા પ્રકારના દશાંશ અપૂર્ણાંક રેશનલ નંબરના સ્વરૂપમાં
નહીં હોય?
તેથી આ દશાંશની શ્રેણી હતી.
તેને ફક્ત આ કેટેગરી અને આ કેટેગરી, જે અંત ન પામતી
પુનરાવર્તન કેટેગરી છે.
ફક્ત આ બે શ્રેણીઓ તર્કના રૂપમાં હશે.
બાકીની કેટેગરી નોન-ટર્મિનેટ નોન-રિપિટિંગ છે.
આ તર્કસંગત સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં નહીં હોય.
આ તાર્કિક સંખ્યાઓની વિરુદ્ધમાં હશે.
તાર્કિક સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ શું હશે? અતાર્કિક સંખ્યાઓ.
ત્રીજી દશાંશ શ્રેણી અતાર્કિક રીતે હશે.
હું આશા રાખું છું કે તમે તેને સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકશો.
મેં તે આ બાજુ લખ્યું છે.
આથી નોન-ટર્મિનેટ નોન-રિપીટિંગ સંખ્યાઓ અસંતુલિત સંખ્યાઓના
રૂપમાં હશે.
અને કુદરતી સંખ્યાથી અંત ન આવતા પુનરાવર્તન સુધીની તમામ
સંખ્યાઓ તાર્કિક સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં હશે.
ફક્ત આ વર્ગ અતાર્કિક સંખ્યાઓના રૂપમાં હશે.
તેથી તર્કસંગત નંબર પછી, તમારી પાસે 7 હશે.
તર્કસંગત નંબર પછી, તમારી પાસે 7 હશે.
અતાર્કિક સંખ્યાઓ.
તેવા બધા સંખ્યાઓ જે તર્કોની શ્રેણીમાં નથી, અર્થાત સાચી
સંખ્યાઓ, જેમાંથી આપણે અત્યાર સુધી જેનો અભ્યાસ કર્યો છે, જો
તેઓ તર્કની શ્રેણીમાં ન હોય, તેઓ સ્વયંભૂ અતર્કિક સંખ્યાઓની
શ્રેણીમાં આવશે.
દાખલા તરીકે, આપણી પાસે ચોરસ છે.
જો અમારી પાસે વર્ગમૂળ હોય તેવી સંખ્યાઓ, જેમાં ૪ પહેલેથી જ ૨
નું વર્ગમૂળ છે, પરંતુ ૩ એ ૩ નું વર્ગમૂળ નથી, તો મૂળ ૩, મૂળ
૫ જેવી સંખ્યાઓ, જેમાં કોઈ વર્ગ ન હોય, જો તેઓ મૂળમાં હોય તો
તે અતાર્કિક સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં આવશે.
બીજી સંખ્યાઓ કઈ છે?
અન્ય નિર્ણય ન કરવામાં આવેલા નંબરોની બીજી શ્રેણી શું હતી? જો
નિર્ણય ન કરવામાં આવેલા દશાંશો હોય તો તે સંખ્યાઓ પણ અતાર્કિક
સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં આવશે જેમાં ન પુનરાવર્તન થાય અને ન સરળ
હોય.
દાખલા તરીકે, અમારી પાસે પી.આઈ.
પાઇ 22 બાય 7, 3.147 વગેરે હતા.
તેથી પાઇ નોન-ટર્મિનેટ છે.
તેનો અંત આવતો નથી.
અને તેના દશાંશ પછી, અંકો પુનરાવર્તિત થતા નથી.
તો પાઈ પણ અતાર્કિકની શ્રેણીમાં છે.
હું આશા કરું છું કે તમે રેશનલ અને ઇરેશનલ વિશે બધું સમજી ગયા
છો.
આપણી પાસે પૂર્ણ સંખ્યાઓ, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, પૂર્ણાંકો,
અપૂર્ણાંકો, દશાંશ સ્વરૂપો, તાર્કિક અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ હતી.
હવે જો આપણે આ બધાને જોડીને લીધે તો આપણે પૂર્ણાંકો,
પૂર્ણાંકો, અપૂર્ણાંકો, સમાપ્તિ પામેલા દશાંશો, સમાપ્તિ ન
પામેલા દશાંશો, પુનરાવર્તિત દશાંશો, આ બધા તાર્કિક સંખ્યાઓની
શ્રેણીમાં આવે છે.
અને બાકીની સંખ્યાઓ અતાર્કિકની શ્રેણીમાં છે.
આ બધાનું કલેક્શન બનાવીએ તો શું મળે?
જ્યારે તમે નકલોમાં એક નાની વાસ્તવિક લીટી બનાવતા હતા,
તમે આના જેવી વાસ્તવિક રેખા બનાવતા હતા, જેમાં તમે મધ્યમાં ૦
લખતા હતા, પછી ૧, ૨, ૩ અને તેથી વધુ.
અને અહીં તે માઇનસ 1, માઇનસ 2, માઇનસ 3 છે.
તેથી આ બધાનો સંગ્રહ, રેશિઓ, અરેશિઓ, જે પણ હોય તે આ છે.
તે નકલોમાં તમે બનાવતા હતા તે છોટી વાસ્તવિક લાઇન જ છે.
એ જ ખરી રેખા છે.
તો આ બધાનો સંગ્રહ શું છે?
આપણી પાસે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
આ બધી જ તમારી અસલી સંખ્યાઓ છે.
તું અહીં સુધી રિવિઝન કર.
આ પછી, હું તમને આગામી ક્લાસમાં કંપ્લેક્સ અથવા કાલ્પનિક
સંખ્યાનો અવાક કરીશ.
જેમ જેમ આપણે વર્ગમાં આગળ વધીએ છીએ,
હું તમને તેના વિશે કહેતો રહીશ.
અત્યાર સુધી, તારી શી ચિંતા હોવી જોઈએ?
વાસ્તવિક સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં તમને શું મળશે?
હું આશા કરું છું કે તમે આજની નંબર સિસ્ટમમાં બધા શબ્દોને
સમજી ગયા હોઈશ.
તમે દૃષ્ટાંતોથી સમજી ગયા હશો.
હવે હું તમને મારી તરફથી હોમવર્ક આપવા માંગુ છું.
કોઈપણ એક અથવા બે પેટાવર્ગના 5-5 ઉદાહરણો બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.
પછી તમે જોશો કે આ નંબર કઈ કેટેગરીમાં આવશે.
આભાર.
હવે પછીના વ્યાખ્યાનમાં મળીશું.
આ વાત રસપ્રદ લાગે છે.
તમે જેવા મિત્રોને સૂચવો છો, દરેક મિત્ર માટે પોઈન્ટ્સ કમાવીશ
જોઈએ જેને તમે ડિસ્કાઉન્ટ કે પૈસાની પુરસ્કારો માટે વપરાશ કરી
શકો છો.
અને આ કોર્સ પૂર્ણ કરવા પછી તમને નોકરીની ગેરંટી પણ મળશે.
મને અંદર ગણો.
હું મારા બધા સહપાઠીઓ સુધી આ શબ્દ ફેલાવવાની ખાતરી કરીશ.