नमस्कार, अभियोग्यतेच्या पहिल्या व्याख्यानमालेत आपले स्वागत
आहे.
आज आपण क्वांटिटेटिव्ह अॅप्टिट्यूड करणार आहोत.
ज्याचा पहिला विषय असेल तो आपली नंबर सिस्टीम.
जो अॅप्टिट्यूडमधील सर्वात महत्वाचा आणि सोपा विषय मानला जातो
तो नंबर सिस्टम आहे.
जर आम्हाला संख्यांची माहिती नसेल तर आम्ही गणित कसे करणार?
आपण समजू शकता की संख्या गणिताचा आधार आहे.
किंवा गणिताचा पाया.
त्यामुळे संख्या हा गणिताचा पाया आहे.
आकड्यांशिवाय आपण गणित सुरू करू शकणार नाही.
जसे की आम्ही आकडे जाणत असताना, आम्ही त्यांच्या श्रेणीची
समजून घ्यायला हवं.
कोणता क्रमांक कोणत्या प्रवर्गातील आहे?
आज आम्ही ह्या लेक्चरमध्ये शिकणार की, संख्यांच्या विभाग काय
आहेत, दशमलवांच्या विभाग काय आहेत, वास्तविक संख्या, संयुक्त
संख्या इत्यादी च्या विभाग काय आहेत.
हे सर्व आपण आज या व्याख्यानात जाणून घेणार आहोत.
चला तर मग सुरुवात करूया.
कुठल्याही मुलाच्या मनात सर्वप्रथम ज्या आकड्यांचा विचार केला
जाईल, तो म्हणजे मोजणीचे आकडे. १, २, ३ वगैरे.
त्यामुळे ज्या मोजणी क्रमांकावरून मूल मोजणी सुरू करते, किंवा
१, २, ३ पासून मोजायला सुरुवात करतो, त्यानंतर येणारे सर्व
आकडे, ते कोणत्या वर्गात येतील?
त्यांना आपले नैसर्गिक आकडे म्हटले जाईल.
कारण आपण नैसर्गिकरीत्या येत असतो आणि मोजणी संख्यांना
नैसर्गिक संख्या असेही म्हणतात. मग यात आणखी एक आकडा जोडला,
जो भारताचा दिवस आहे, आर्यभट साहेबांचा, तो म्हणजे ०. जर आपण
या नैसर्गिक संख्यांमध्ये 0 ची भर घातली तर हा संपूर्ण संच
असेल
संपूर्ण नंबर सेट ला फोन केला.
चला तर मग लिहूया.
नैसर्गिक संख्यांबद्दल मी तुम्हाला काय सांगितलं? १, २, ३
वगैरे. 1 कोटी, 2 कोटींनंतर येणारे सर्व आकडे, त्यानंतर
येणारे सर्व आकडे, ते काय होणार?
नैसर्गिक संख्या[संपादन]।
ते कसे पुढे जात आहेत ते पहा.
१ मध्ये आपण एक पाऊल पुढे जात असू, तर २ येत आहे.
2 मध्ये आपण एक पाऊल पुढे जात आहोत, तर 3 येत आहे.
आता जर आपण संख्यांमध्ये एक पाऊल पुढे जात असताना, १ पासून
आणखी संख्या आपल्या नैसर्गिक संख्यांमध्ये येतील.
त्याचप्रमाणे, संपूर्ण संख्या किती असेल?
१ पासून सुरुवात करण्याऐवजी कुठून सुरुवात करणार?
आम्ही आमची पावले 0 पासून सुरू करू.
० पासून.
तर आम्ही ० पासून सुरुवात करू.
मग आपण एक पाऊल पुढे जाऊ.
पुढे काय होणार? 1.
मग आपण एक पाऊल पुढे जाऊ.
2.
मग ३.
वगैरे वगैरे.
मग हा वर्ग काय आहे?
ही संपूर्ण संख्यांची श्रेणी आहे.
त्यामुळे नैसर्गिक संख्या १ ते ० पर्यंत जाईल.
आणि हा सगळा आकडा कुठून येणार?
या संपूर्ण आकड्यांमधून आणखी एका गोष्टीची भर पडली आहे.
म्हणजे ०.
त्यामुळे जर आपण ० जोडले तर तो संपूर्ण आकडा होईल.
आता आपण पुढे जाऊ.
संपूर्ण संख्या आणि नैसर्गिक संख्या, त्यांच्या दोन
उपवर्गांमध्ये विभागले जातात, ज्यांना आपण काहीही म्हणतो.
ऑड-ईवन नियमाबद्दल तुम्ही ऐकलं असेलच.
ऑड-ईवन नंबर.
तो कुठून आला?
ते गणितातून आहे.
विचित्र संख्या म्हणजे काय?
सम संख्या म्हणजे काय?
मग तुम्ही प्राइम नंबरबद्दल ऐकलं असेलच.
त्यामुळे या सर्वांचा अभ्यास आपण त्यांच्या उपवर्गात करू.
नैसर्गिक किंवा संपूर्ण संख्यांच्या उपवर्गात.
त्यामुळे सर्वप्रथम विषम संख्या, मग सम संख्या यांचा अभ्यास
कराल.
आम्ही कोणत्या आकड्यांपासून सुरुवात केली होती, त्यापासून
नैसर्गिक आकड्यांची सुरुवात केली होती?
1, 2, 3 पासून.
आम्ही 1 पासून सुरुवात केली.
मग जर आपण १ घेतला तर ते कसे होईल?
विचित्र संख्या.
त्यानंतर एक पाऊल उचलण्याऐवजी दोन पाऊले आधी जावे लागतात.
आपण एक पाऊल पुढे टाकले तर आम्हाला २ मिळतील.
पण जर आपण दोन पावले टाकली तर आम्हाला 3 मिळतील.
मग ३ चे काय होणार?
विचित्र संख्या.
सो, दोन पायऱ्या सोडल्यानंतर, १ पासून दोन पायऱ्या सोडल्यावर
जे काही आकडे मिळतात, ते कसे होतील? आणि त्या आकड्यांचा काय
असेल?
विचित्र संख्या.
मग विषम आकड्यांचे काय होणार? १, ३, ५, ७ वगैरे. विचित्र आकडे
आले आहेत.
आता, अगदी संख्या.
सम आणि विचित्र काय आहे?
एकमेकांच्या विरुद्ध.
या दोघांकडून आपल्याला काय मिळतं?
नैसर्गिक संख्यांचा एक संपूर्ण संच.
त्यामुळे २ चा तक्ता सर्वांना माहित आहे.
2 2, 2 दोन 4, 2 तीन 6 आहेत.
त्यामुळे जोर आकडे आलेले असल्यास, २ च्या तक्त्यात जे काही
आकडे मिळतात, त्यांना कोणत्या श्रेणीत लागू करणार? आम्ही
त्यांना जोडीत क्रमांक म्हणू.
मग अप्रत्यक्षपणे आकड्यांचेही काय होणार?
सर्व संख्या ज्या २ च्या तक्त्यात येतात, त्यांची विभाजन केली
जाते.
तर २, ४, ६, ८, १० वगैरे.
तर बघा,
माझं म्हणजे जर आपण १ पासून विषम क्रमांकांची सुरुवात करून २,
२ च्या पाऊलांनी अगदी तरी सम क्रमांक मिळतील. तसेच, आम्ही सम
क्रमांक म्हणत असतो तर त्याची सुरुवात कुठून होते? जर आमचा सम
क्रमांक २ पासून सुरु होतो तर आम्ही...
दोन पाऊले आधी टाकू. एक पाऊल येथे आहे, तो एक और पाऊल
टाकल्यास येथे ४ येतील.
जर आपण दोन पाऊली घेऊन २ वरून सुरुवात करत असताना दोन पाऊली
आधी टाकली तर काय मिळेल?
आम्हाला सम क्रमांक मिळतील.
त्यामुळे विषम संख्या सम संख्या बनते.
तिसरा म्हणजे प्राइम नंबर.
प्राइम नंबर म्हणजे काय?
प्राईम, अप्रत्यक्षरित्या संख्यांचेही काय होणार?
सर्व संख्या ज्या २ च्या टेबलमध्ये येतात आणि विषम
संख्यांच्या विरुद्ध आहेत, ज्या संख्यांच्या २ च्या टेबलमध्ये
नाहीत, त्यांना आपण विषम संख्या म्हणतो.
आता प्राइम नंबरचा सीन काय आहे?
प्राईम नंबर कोणाच्या टेबलवर येत आहे?
तो येत नाही.
त्यामुळे प्राईम नंबर प्राईम असतात.
प्रत्येकजण प्राईम, अॅमेझॉन प्राईम घेईल.
त्याचप्रमाणे, आपण प्राइम नंबर रिलेट करू शकता.
जे फक्त आणि फक्त आहे.
प्राईममध्ये एक खास गोष्ट आहे.
तर प्राईम नंबर्सची खासगीती असा आहे की ते त्यांच्या
स्वतःच्या टेबलमध्ये येतील किंवा १ च्या टेबलमध्ये येतील.
1 च्या तक्त्यात सर्व येतील.
त्यामुळे जे आकडे स्वत:च्या टेबलात येतात, कोणाच्याटेबलात
नसतात, त्यालाच आमचा प्राइम नंबर म्हटले जाईल.
तर सर्वप्रथम प्राईम नंबर कोणता असेल?
ते 2 असेल.
आम्ही २ लिहीत नाही, कारण त्यातील १ वगळतो.
आम्ही 2 पासून सुरुवात करतो.
तर सर्वप्रथम, 1 नंतर काय येते? २ येतात.
आणि 2 फक्त त्याच्या स्वतःच्या टेबलमध्ये येतो, कोणत्याही
टेबलमध्ये नाही.
मग 2 कसे बनते?
प्राइम नंबर.
त्यानंतर ३ येतात.
३ कोणाच्या टेबलात येतो?
स्वत:ला वगळता.
तो कोणाच्याही टेबलवर येत नाही.
हे फक्त त्याच्या स्वतःच्या टेबलमध्ये आणि 1 च्या तक्त्यात
येते.
त्यामुळे ३ हा दुसरा प्राईम नंबर ठरतो.
त्यानंतर ४ येतात.
तर ३ नंतर ४ येतात.
४ कोणाच्या टेबलात येतो? ४ १ च्या तक्त्यात येतो.
4 स्वतःच्या टेबलमध्ये येतो.
पण ४ देखील २ च्या तक्त्यात येतो.
2, 2 एस 4 आहेत.
तर 4 कसे बनतात?
नॉन-प्राइम नंबर.
त्यामुळे ४ हा आमचा प्राईम नंबर असणार नाही.
त्यानंतर ५ येतात.
5 कोणाच्या टेबलात येतो?
हे त्याच्या स्वतःच्या टेबलमध्ये येते आणि फक्त 1 च्या
तक्त्यात येते.
तो दुसर् या कोणाच्याटेबलवर येत नाही.
त्यामुळे ५ हा तिसरा प्राईम नंबर ठरतो.
त्याचप्रमाणे १ ते १० मध्ये किती आकडे आहेत? 2, 3, 5, 7.
आपल्याकडे २, ३, ५, ७ कसे आहेत?
सर्व प्राईम नंबर १ ते १० च्या दरम्यान आहेत.
मग १० नंतर ११ येतात, १३ येतात आणि १७ येतात वगैरे.
अशा प्रकारे आमची प्राईम नंबरही वाढत च राहतात.
नवीन शास्त्रज्ञ शोधत असतात की शेवटचा प्राइम नंबर कोणता
असेल, कोणता नसेल आणि तो किती आढळू शकतो याचा.
हा सगळा आमचा प्राईम नंबर बनला आहे.
प्राइम नंबरनंतर आणखी एक नंबर ऐकला असेल.
संमिश्र संख्या।
संमिश्र म्हणजे काय?
संमिश्र म्हणजे दोन गोष्टींची सांगड घालून, दोनपेक्षा जास्त
गोष्टींची संयोजन असते.
आता घटक संख्या काय असेल? तुम्ही नंतर फॅक्टर्स वाचू शकता,
म्हणून मी ते शब्द वापरत नाही. फॅक्टर्स, विभाज्य इत्यादी.
आता आपण जे वाचत आहोत त्यासंबंधी मी तुम्हाला सांगत आहे.
आमच्या आपल्या टेबलमध्ये, म्हणून दोन इतर संख्यांच्या
टेबलमध्ये आम्ही ते लिहू शकतो. त्या नंबरची किती होईल ते काय
असेल?
संमिश्र संख्या।
जसे मी आता ४ लिहिले आहे.
मी म्हणालो ४, ४ हा प्राईम नंबर नाही.
आणि जर आम्ही ४ लिहितो तर ते कसे लिहू शकतो? ४ हे २ आणि २
च्या गुणांकाची आहे.
तर हे दुसर् या नंबरच्या मल्टिपलमध्ये लिहिले जात आहे.
जेव्हा आम्ही दुसर्‍या क्रमांकाच्या गुणकात लिहितो तेव्हा तो
आमच्याशिवाय असतो.
मग हे काय आहे?
संमिश्र संख्या।
आम्हाला 4 कसे मिळाले?
संयुक्त।
त्याचप्रमाणे ५ हा एक प्रमुख आकडा आहे.
त्याखेरीज इतर कोणत्याही गुणात आपण ५ लिहू शकत नाही.
आता आपण ६ बघूया.
आपण ६ कसे लिहू शकतो?
२ ते ३.
आपण ते लिहू शकतो.
6 वगळता इतर आकडे मिळाले आहेत ज्यांचे गुणक देखील 6 आहेत.
संमिश्र संख्या ही संख्येतील सर्वात लहान संमिश्र संख्या आहे.
त्याचप्रमाणे प्राईममध्ये पाहिलं तर प्रत्येक गोष्ट २ पासून
सुरू होते.
मग, आम्हाला 2 कसे मिळतील?
सर्वात लहान प्राईम म्हणून आम्हाला 2 मिळतो.
आणि हा सर्वात लहान प्राईम आहे.
वर, पाहा आपल्याला कोणत्या श्रेणीत 2 मिळते?
विषम किंवा सम?
आम्हाला ते सम संख्येने मिळते.
तर, आपल्याकडे एकच सम संख्या आहे, जी प्रधान आहे.
तर, 2 ची खासियत काय आहे?
त्याची दोन वैशिष्ट्ये आहेत.
एक म्हणजे सर्वात लहान प्राईम नंबर.
आणि दुसरं म्हणजे हा एकमेव इवन प्राइम नंबर आहे.
हे कोणाबद्दल बोलतंय?
हे 2 बद्दल बोलत आहे.
2 हा एकमेव सम प्रधान क्रमांक आहे आणि तो सर्वात लहान प्राइम
नंबर आहे.
त्याचप्रमाणे पुढचा आकडा काय आहे? 3.
3 देखील लहान आहे परंतु 2 पेक्षा मोठा आहे.
त्यामुळे आम्ही त्याला सर्वात लहान म्हणणार नाही.
3 म्हणजे काय? ३ हा पहिला विचित्र प्राईम नंबर आहे.
त्याचप्रमाणे आम्ही पुढील श्रेणी करू.
याचा संबंध कोणाशी आहे?
हे केवळ नैसर्गिक संख्या आणि संपूर्ण संख्येशी संबंधित आहे.
आता, पुढे आपल्याकडे नैसर्गिक आणि संपूर्ण आकडे असतील.
बघा, आपण एक-एक करून पुढे जात आहोत.
० च्या पुढे एक पाऊल पुढे १ आहे.
मग १ पेक्षा एक पाऊल पुढे २ आहे.
पण आपण आयुष्यात पुढे जातो.
पण आयुष्यात आपण कधी कधी मागे पडतो.
आपल्याकडेही पतन आहे.
त्यामुळे जर आपल्याला ० च्या मागे जावे लागले तर काय होईल?
तर, काही संख्याही आहेत.
आपल्या खऱ्या आयुष्यात काय होईल हे आपण पाहू शकत नाही.
उदाहरणार्थ, आपण पाहू शकतो 1.
एक बिस्कीट.
एक टॉफी.
पण आपण उणे १ किंवा निगेटिव्ह पाहू शकतो का?
आपण उणे 1 टॉफी किंवा उणे 1 बिस्किट पाहू शकतो का?
नाही आम्ही करू शकत नाही।
त्यामुळे जर आपण ० पेक्षा एक पाऊल मागे जात असू, तर कोणते
आकडे येतील?
गणितज्ञांनी त्यांना निगेटिव्ह आकडे असे नाव दिले आहे.
त्यामुळे जेव्हा आपण ० पेक्षा एक पाऊल मागे जातो तेव्हा
नकारात्मक आकडेची सुरुवात होते.
त्यामुळे जेव्हा ते नेगेटिव्ह पिक्चरमध्ये येतात, तेव्हा आपण
आपोआप त्या नंबर्सना नेगेटिव्ह नंबर म्हणतो.
त्यामुळे इथून आपण नेगेटिव्ह आणि पॉझिटिव्ह नंबरबद्दल
बोलण्याची सुरुवात करू.
चांगल्या आणि वाईट लोकांबद्दल.
चला तर मग पुढे जाऊया.
पुढे आमचं काय होणार?
पहिली श्रेणी नैसर्गिक संख्या होती.
मग संपूर्ण आकडे.
तेव्हा त्यांचे उपवर्ग प्राईम, ऑड, सम आणि संमिश्र होते.
आता आपल्याकडे काय आहे?
तिसरा वर्ग.
संपूर्ण संख्येनंतर, आपल्याकडे तिसरा वर्ग आहे.
ते पूर्णांक आहेत.
पूर्णांकात आपल्याकडे ० होते.
आता, आम्ही 0 पासून संपूर्ण आकडे वाचले आहेत.
०, १, २, ३ वगैरे.
आपण एकेक पाऊल पुढे जात आहोत.
आता आपण एक पाऊल मागे गेलो तर.
आपल्याला 0 पेक्षा एक पाऊल मागे जावे लागेल.
त्यामुळे आम्ही ० पेक्षा एक पाऊल मागे जात आहोत.
तर, आम्ही परत जाण्याचे चिन्ह दर्शवू.
आपण त्याला नकारात्मक चिन्ह म्हणून दर्शवू.
आणि जर आम्ही 0 पेक्षा एक पाऊल मागे जात असतो तर तो नेगेटिव्ह
1 होतो.
तुला समजलं का?
आम्ही ० वरून एक पाऊल पुढे जात होतो.
तर, ते सकारात्मक होते 1.
जर आपण 0 पेक्षा एक पाऊल मागे गेलो तर ते नकारात्मक 1 होईल.
जर आपण ० वरून दोन पावले पुढे जात असू तर ते पॉझिटिव्ह २ होते.
जर आपल्याला 0 पेक्षा दोन पावले मागे जावे लागले तर ते
नकारात्मक चिन्ह बनेल. आणि जर आपण 0 पेक्षा दोन पावले मागे
जात असू तर ते नकारात्मक 2 होईल.
अशा कारणाने ही नकारात्मक आकड्यांची सिरी उलट्या दिशेने सुरू
होते.
आपण १, २ असे लिहितो.
पण हे कसं लिहिणार?
उणे १, उणे २, उणे ३.
तर, हे असेच जाईल, उणे 3.
आणि तो 0 च्या एक पाऊल मागे ही जाईल.
तुम्ही समजला का? पूर्णांक होते काय? पूर्णांकांचा समूह काय
आहे?
प्रथम, आम्हाला तटस्थ 0 ची आवश्यकता आहे.
मग आमच्याकडे पॉझिटिव्ह आकडे आहेत.
पॉझिटिव्ह १, २, ३ वगैरे.
मग आपल्याकडे निगेटिव्ह आकडे असतात.
निगेटिव्ह १, निगेटिव्ह २, निगेटिव्ह ३ वगैरे.
हे दोन आकडे अनंत आहेत.
दोन्ही बाजूंनी.
हे दोन आकडे अव्याहतपणे चालू आहेत.
कारण या आकड्यांची सुरुवातीची संख्या आपल्याला माहित नाही.
असे म्हटले तर १ कोटी हा सर्वात मोठा आकडा आहे.
ती 1 कोटीपेक्षा मोठी नाही.
मग मी म्हणेन, १ कोटीत १ रुपया जोडा.
१ कोटीत १ रुपया जोडला तर तो १ कोटी १ होतो.
त्यामुळे त्यात वाढतच जाणार आहे.
तुम्ही मला कुठलाही नंबर दिलात तर मी त्यात १ रुपया जोडून
तुम्हाला मोठा नंबर देईन.
सगळ्यांना माहिती आहे की, जोडणी सर्वांनाच माहित आहे.
त्याचप्रमाणे नकारात्मक बाजूकडे गेल्यास.
मग मी त्यातून आणखी एक आकडा वजा करीन.
मला कुठलाही नंबर द्या, सर्वात लहान.
त्यातून आणखी एक आकडा वजा करेन.
मग मी आणखी मागे जाईन.
मग हे आकडे काय आहेत?
काय आहे ही व्यवस्था?
ते अनंत आहेत.
त्यांना अंत नसतो.
म्हणूनच ते अमर्याद चालू आहेत, असे आपण म्हणतो.
त्या अविरत चालू आहेत.
तर, आपल्याकडे पूर्णांक आहेत.
पूर्णांक शून्य सकारात्मक संख्या आहेत.
जर मी पूर्णांक लिहितो.
पूर्णांकांचे काय होणार?
पूर्णांकांमध्ये तीन वर्ग असतील.
सर्वप्रथम, शून्य.
जे तटस्थ आहे.
त्याचे कोणतेही चिन्ह नाही.
ना पॉझिटिव्ह ना निगेटिव्ह.
ते तटस्थ आहे.
मग आमच्याकडे पॉझिटिव्ह आकडे आहेत.
१, २ वगैरे पॉझिटिव्ह आकडे.
पॉझिटिव्ह आकड़े.
आमच्याकडे दुसरं काय आहे?
तिसरा, नकारात्मक आकडे.
निगेटिव्ह आकड्यांमध्ये उणे १, उणे २ इत्यादींचा समावेश आहे.
मी तुम्हाला एक उदाहरण देतो.
आपण वास्तविक जीवनात पूर्णांक कसे जोडू शकता?
समोरच्या लिफ्टकडे बघा.
मला आशा आहे की तुम्ही लिफ्ट पाहिली असेल.
मला आशा आहे की आपण त्याचा वापर केला असेल.
आजकाल आपण सर्व मेट्रो स्थानकांवर याचा वापर करतो.
लिफ्टमधील जमिनीची पातळी पाहिली तर.
ही संख्या जमिनीच्या पातळीवर काय दर्शवते?
बाजूला शून्य लिहिलं आहे.
जेव्हा आपण जमिनीच्या पातळीवर असतो, तेव्हा शून्य लिहिले जाते.
समजा आपल्याला दुसऱ्या मजल्यावर जायचं आहे.
आपण कोणते बटण दाबतो?
2 साठी ते वाढते.
जेव्हा शून्यावरून लिफ्ट वर जात असते.
प्रत्येक मजल्याची भर पडत आहे.
पॉझिटिव्ह आकडे वाढतच राहतील.
1, 2, 3.
किती मजले असतील?
आता समजा आपल्याला खाली जायचे आहे.
आपण कसे सूचित करू?
समजा आपण शून्यातून परत जाण्याचा इशारा देत होतो.
येथे पॉझिटिव्ह आकडे वाढत आहेत.
आता एका मजल्यावर उतरायचं असेल तर.
खाली पार्किंग आहे.
त्यात आपण काय करायचं?
त्यासाठी आपण काय दबाव टाकू?
तुम्ही पाहिलं असेलच.
यात उणे १, उणे २ यांचा समावेश आहे.
अशी संख्या खालील बाजूसाठी दर्शविली जाते.
उणे 1 आणि उणे 2.
आणि खाली मजल्यांची संख्या.
तर, मला आशा आहे की आपल्याला पूर्णांकांचा विषय समजला असेल.
पूर्णांक म्हणजे काय?
पूर्णांकांनंतर आपल्याला काय मिळते?
आत्तापर्यंत आपण एका प्रमाणाबद्दल बोलत होतो.
की आपल्याला एक पाऊल पुढे जावे लागेल.
किंवा आम्ही एक टॉफी देत आहोत.
किंवा आपण एक चॉकलेट देत आहोत.
पण, जर तुमचा धाकटा भाऊ तुमच्याकडे काही मागत असेल तर.
तू त्याला सगळी गोष्ट दे.
जर तुम्ही चॉकलेट खात असाल तर.
जर त्याने तुमच्याकडे चॉकलेट मागितले तर.
तू त्याला संपूर्ण चॉकलेट देतोस का?
नाही, बरोबर?
तुम्ही त्याला अर्धा भाग द्या.
किंवा तुम्ही त्याला एक छोटा सा द्या.
किंवा तुम्ही त्याला त्याचा एकच घन देता.
मग ते काय आहे?
तो पूर्ण आकडा नसतो.
मग त्यात आपल्याला काय मिळतं?
तिथून अंशांची संकल्पना सुरू होते.
उदाहरणार्थ, आपल्याकडे चॉकलेट आहे.
आणि त्यात आमचे छोटे छोटे तुकडे आहेत.
तर, समजा आपल्याकडे त्यापैकी 5 आहेत.
तर, जर आपण फक्त ही बाजू देत आहोत.
म्हणजे आम्ही अर्धे चॉकलेट देत आहोत.
समजा आपण इतकंही देत नाही.
आम्ही फक्त हेच देत आहोत.
वर ४ आहे.
तर, याचा अंश काय असेल?
आपल्याकडे एकूण किती क्यूब्स आहेत? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10.
आमच्याकडे एकूण १० तुकडे आहेत.
एकूण 10 तुकडे आहेत, पण आम्ही आमच्या लहान भावंडांना फक्त 4
तुकडे देत आहोत.
मग हे गणिती पद्धतीने कसं करायचं?
तू तुझ्या भावाला किती तुकडे दिलेस?
तर, तुम्ही तुमच्या भावंडाला किती तुकडे दिले आहेत?
वर लिहा आणि एकूण किती तुकडे आहेत?
ते खालील विभागात लिहा.
तर, आपण आपल्या भावंडाला चॉकलेटचा इतका अंश दिला आहे.
त्यामुळे इथून अंशांची संकल्पना येईल.
म्हणून, पूर्णांकांनंतर पुढील शीर्षक लिहा.
अंशांचे उदाहरण काय असेल?
थोडक्यात, एक वर असेल आणि एक खाली असेल.
समजा, आपण १ बाय २ लिहितो जे अर्धे आहे.
वरील संख्येला गणक म्हणतात.
आणि खालील क्रमांकाला विभाजक म्हणतात.
तर, अंश संख्या या प्रकारची आहे.
1 ऑन 2
किंवा आपण अंशात २ लिहू शकतो.
अंश प्रकारात.
का नाही?
जर आपण १ खाली २ लिहितो तर विभागणीत.
तर, 1 ने विभागलेली कोणतीही गोष्ट स्वत: असेल.
तर, हे अंश गणक आणि विभाजक या स्वरूपात आहे.
मग आम्हाला २ कसे मिळाले?
आपण ते अंश संख्येने सांगू शकतो.
त्याचप्रमाणे ३ बाय ४.
फ्रॅक्शन मध्ये, वरील संख्या नेहमी लहान असणे गरजेचे नाही.
किंवा खालील आकडा नेहमीच मोठा असेल.
हे उलट असू शकते.
बघा, हे २ बाय १ होते.
मग वर २ काय होते?
तो 1 पेक्षा मोठा आहे.
आणि खालील एक लहान आहे.
तर, वरील संख्या मोठी किंवा लहान असू शकते.
तीच गोष्ट खाली दिली आहे.
विभाजक गणकापेक्षा मोठा किंवा लहान असू शकतो.
त्यामुळे जो काही आकडे आम्ही नुमेरेटर वर विभाजकावर लिहू शकतो.
त्या संख्येला अंश असे म्हटले जाईल.
अंशापर्यंत सगळ्यांना समजलं का?
आता, अंशांनंतर, जसे आपण 1 बाय 2 लिहिले आहे.
1 बाय 2 म्हणजे काय? १ बाय २ ही एकूण संख्या आहे. मी काय
म्हटलं?
विभाजक एकूण आहे.
आणि आपण काय देत आहोत किंवा काय वापरत आहोत हे गणक आहे.
तर, आमच्याकडे गणक आहे.
ज्याचा आम्ही वापर करत आहोत.
तर, आमच्याकडे एकूण 2 आहेत.
समजा, आपल्याकडे एकूण २ ब्लॉक आहेत.
त्यातून किती वापरावे लागेल? माझ्या अनुसरणेत, फक्त 1 ब्लॉक
वापरायचं आहे.
तर, या भागाला 1 बाय 2 म्हणतात.
म्हणजे आपल्याला १ भाग वापरावा लागतो.
एकूण भागांपैकी किती?
एकूण २ भाग.
आता तसं पाहिलं तर.
त्याची विभागणी केली तर.
1 बाय 2 हा एक अंश आहे.
नवीन स्लाईडमध्ये सांगणार आहे.
हा एक अंश आहे.
समजा, १ बाय २.
याचा अर्थ काय? 1 बाय 2 म्हणजे.
आम्ही आत १ लिहू.
आणि २ आमचे डिव्हिझर असतील.
ज्यातून आपण विभागतो.
त्याला डिव्हिझर म्हणतात.
आणि आमच्याकडे 1 आहे.
लाभांश।
आता, 2 ची विभागणी करा.
1 ची विभागणी 2 ने करता येत नाही.
१ त्याच्या टेबलात येत नाही.
तर आम्हाला काय करायचं आहे? तुम्ही आपल्या बालपणात विभाजन
शिकला असाल तर.
आम्ही त्याच्यासमोर ० ठेवू.
आम्ही 1 नंतर 1, 0 ठेवू.
जर आपण येथे ० टाकत असू.
मग, आपल्याला कोशंटमध्ये काय ठेवावे लागेल?
आपल्याला दशांश ठेवावा लागेल.
त्यामुळे दशांशासमोर आपण काहीही सोडत नाही.
दशांश म्हणजे काय?
हा एक मुद्दा आहे.
त्यामुळे मला ० गुण मिळतील.
आता बघा.
१० झाले आहेत.
१ ऐवजी १० झाले आहे.
त्यामुळे आम्ही १० बाय २ अशी विभागणी करू.
काय येईल?
2 वेळा 5 म्हणजे काय? 10.
त्यामुळे आम्ही 5 ने विभागणार आहोत. 2 वेळा 5 म्हणजे 10.
तर, 10 झाले आहेत.
बाकी काय आहे? 0.
तर, जर आपल्याला अंश दशांशात लिहायचा असेल तर.
जर आपल्याला अंश दशांशात लिहायचा असेल तर.
मग, आपण १ बाय २ काय लिहू शकतो?
आपण 1 बाय 2 0.5 म्हणून लिहू शकतो.
जेव्हा आपल्याला असा मुद्दा वापरावा लागतो.
मग, आपण याला दशांश रूप म्हणतो.
आता तुमचे दशांश रूप काय असेल? ०.५ या दशांशात पहा.
5 च्या समोर नंबर नाही.
आपण ५ च्या समोर ०, ०, ० लिहू शकतो.
काही फरक पडत नाही.
परंतु, 0 च्या समोर एकही नंबर नाही.
मग काय होतंय?
दशांश थांबत आहे.
५ नंतर ते इथेच थांबवले जाते.
तर, अशी दशांश रूपे कोणती आहेत?
इंग्रजीत स्टॉपचे नाव काय आहे?
समाप्ती.
तर, हा प्रकार दशांश.
1 क्रमांकानंतर किंवा 2 आकड्यांनंतर किंवा 10 आकड्यांनंतर.
ते थांबते.
तर, त्या दशांशांना समाप्ती दशांश म्हणतात.
समाप्ती म्हणजे ती संपत आहे.
आजकाल आपण म्हणतो की नोकऱ्या आपल्याला संपवतात.
ती सोडली जाते.
तो संपला आहे.
ते थांबवले जाते.
ते संपले आहे.
निरोप।
तर, आम्ही दशांश संपवला आहे.
जे 1, 2 किंवा काही मर्यादित संख्येनंतर आहे.
परिमित म्हणजे काही संख्या अंकांनंतर.
ते थांबवले जाते.
ते दशांश रूप आहे.
त्यामुळे आम्ही समाप्ती केली आहे.
आता याच्या उलट पाहिलं तर.
मग, न संपता.
नॉन टर्मिनेशन काय असेल?
जे थांबणार नाही.
जे कधीच थांबत नाही.
तर, आमच्याकडे नॉन-टर्मिनेशन असेल.
तुम्हाला दोन शब्द समजले.
समाप्त करणे आणि न संपविणे.
तर, तुम्ही नवे शीर्षक लिहिले.
अंशांनंतर पुढचे शीर्षक असेल.
कोणता नंबर होता तो?
अंश चौथ्या क्रमांकावर आहेत.
त्यामुळे आमचा पाचवा क्रमांक असेल.
पाचवा क्रमांक दशांश असेल.
आता, दशांशाच्या सर्व श्रेणी.
दशांशाचा प्रकार काय असेल?
०.१२३ सारखे काहीतरी.
किंवा 4.749.
या सर्व प्रकारच्या संख्या दशांश स्वरूपात असतील.
आपण अंशांपासून दशांशाकडे जाऊ शकतो.
आणि दशांशांपासून अंशांपर्यंत.
आपण अंशांपासून दशांश शिकला आहात.
आता आपण दशांशावरून अंशांकडे कसे जाणार?
ते मी तुम्हाला सांगतो.
आपण दशांशापासून अंशांकडे कसे जाऊ?
समजा, आमच्याकडे एक नंबर होता.
0.123.
आपण काय करावे?
दशांश काढून टाका.
तर, जर आपण दशांश काढून टाकला तर.
जेव्हा आम्ही विभागलो.
जेव्हा आपण दशांश ठेवतो.
त्यामुळे आम्ही डिव्हिझर केले.
बघा, शेवटच्या प्रश्नात.
आम्ही १ सह ० ठेवला.
जेव्हा आपण दशांश वर ठेवतो.
तर, आम्ही 1 च्या समोर 0 ठेवले.
त्याचप्रमाणे जेव्हा आपण दशांश काढून टाकतो.
तर, आपल्याला विभाजनात 0 लिहावे लागेल.
प्रथम, आम्ही दशांश काढून टाकण्यासाठी 1 लिहू.
आणि दशांशाच्या समोर असणारी सर्व संख्या.
सर्व आकडे जे दशांशाच्या समोर आहेत.
अंक म्हणजे प्रत्येक संख्या.
जे दशांशाच्या समोर असतात.
आम्ही 1 च्या समोर 0 ठेवू.
तर, येथे 0.123 आहे.
मग, मुद्द्यानंतर काय आहे? १, १ संख्या, २, ३.
तर, दशांशानंतर किती आकडे आहेत? 3.
तर, आपण 3 शून्य लिहू शकतो.
आम्ही दशांश काढून टाकला.
आम्ही १ लिहिलं.
सर्व आकडे जे दशांशाच्या समोर आहेत.
आम्ही त्यांच्यासमोर ० ठेवले.
तर, हे अंश रूप आहे.
आपण दशांशावरून अंश लिहू शकतो.
तर, हा दशांश ०.१२३ होता.
त्यामुळे आम्हाला फ्रॅक्शन फॉर्म मिळाला.
तर, आपण अंशाचे दशांशात रूपांतर करू शकतो.
आणि आपण दशांशाचे अंशात रूपांतर करू शकतो.
हे अंशाला दशांश आहे.
आणि अंश ते दशांश.
आता उपश्रेणी करा.
दशांश ाचे उपवर्ग.
आता मी दशांशाचे उपवर्ग लिहिले आहेत.
दशांश ाचे उपवर्ग.
दशांशांचे उपविभाग. आपण हे प्रकारचे अंक आणले आहेत. संपेक्षा
करून, अदंयच्या दशांश असतात आणि त्याच्या विरुद्ध काय आहे हे?
समजा, एकही आकडा संपला नाही.
उदाहरणार्थ, आपण एक नंबर पाई वाचला असेल.
तुम्ही पाई वाचला असेलच.
२ पाई र त्रिज्या २ पाई र परिधि वर्तुळाचे सूत्र. तर, पाई
म्हणजे काय?
जेव्हा आपण प्रश्नांमध्ये त्याच्या दशमलव फॉर्मचा वापर करता
तेव्हा आपण २२ बाय ७ वापरू शकता. किंवा आपण ३.१४ वापरू शकता.
4 नंतर 3.14 संपलेला आपण पाहू शकता.
परंतु, आम्ही त्याचा उपयोग प्रश्न आणि संख्यात्मकता
सोडविण्यासाठी करतो.
पण, जर तुम्ही मला अंश आणि दशांश यांच्याशी करायला शिकवलं
असता, तर २२ बाय ७ ने विभाजित करायला शिकवलं असतात.
मग, आपण कधीच संपणार नाही.
तो ३.१४७ वगैरे कायम राहील.
शास्त्रज्ञ हे आकडे शोधत आहेत.
तर, आम्ही पाई कसे मिळवू? २२ बाय ७ किंवा ३.१४७ वगैरे.
तर, या प्रकाराचे दशांश काय असतील?
या प्रकारचे दशांश आपल्याला कसे मिळतील?
नॉन-टर्मिंग दशांश.
हे काय आहे?
नॉन-टर्मिंग दशांश.
आता एक उदाहरण बघा.
१ बाय ३ तुमच्याकडे एक नवीन उदाहरण आहे.
१ बाय ३ हा क्रमांक आहे.
हा एक अंश आहे.
त्याचे दशांशात रूपांतर करावे लागेल.
ते करा।
त्याचा परिणाम काय होईल?
वरचा नंबर आत जाईल.
आणि, ३ हा क्रमांक डिव्हिझर बनेल.
तर, 3 आणि 1 3 च्या टेबलमधून जात नाहीत.
त्यामुळे आपल्याला एक गुण टाकून ० टाकावे लागेल.
तुम्हाला हवं तेवढं टाकू शकता.
आता, आपण 1 किंवा 2 टाकू शकता.
काही फरक पडत नाही।
समजा, आम्ही १ टाकतो.
तर, 3.
3 च्या तक्त्यात 10 पेक्षा लहान संख्या किती आहे? ९ आहे.
३ बाय ३ म्हणजे ९.
तर, तो 0.3 होतो.
बाकी काय आहे? 1.
जेव्हा आपण दशांश वरच्या कोशंटमध्ये 1 गुण ठेवतो, तेव्हा
आपल्याला विश्रांती मिळते.
आपल्याला हवे तितके शून्य आपण ठेवू शकतो.
जर आपण पुन्हा 0 टाकले तर ते पुन्हा 10 होते.
त्याचीच पुनरावृत्ती होत आहे.
त्यामुळे तो पुन्हा ३ वरून जाणार आहे.
३ बाय ३ म्हणजे ९.
त्याचप्रमाणे उर्वरित १० पुन्हा होणार आहेत.
त्याचप्रमाणे ० , ३ , ३ , ३ , ३ , ३ इ.
वाढतच राहते.
तर, आपण 1 x 3 म्हणून काय लिहू शकतो?
०.३३३३ आहे.
ती वाढतच जाते.
सर्व थ्रीडी वाढतच राहतील.
हे एक लूप आहे.
त्याचप्रमाणे आपण ते १ बाय ३ असे लिहू शकतो.
बघा, हे ३ २ ३ वगैरे संपत नाहीये.
3 2 3 चालू आहे.
मग तो कोणाच्या उदाहरणात आला?
आपोआपच ते न संपण्याच्या उदाहरणात आले.
कारण ती संपुष्टात येत नाही.
त्याचप्रमाणे पाहिलं तर हे उदाहरण आहे.
न संपणारे, न संपणारे, पण हे काय घडत आहे?
त्याची पुनरावृत्ती होत आहे.
3 पुन्हा पुन्हा पुनरावृत्ती करत आहे.
तर, हे उदाहरण आहे.
नॉन टर्मिनेटिंगमध्येही दोन कॅटेगरी असतील.
अर्थ असा की, न संपणारे, न संपणारे असे दशमलव आहे, पण तो
पुन्हा आणण्यात येत आहे.
तर, न संपणारे, पुनरावृत्ती दशांश, एक वर्ग हा आहे.
तुमचे उदाहरण कोणाचे? १ बाय ३. ज्याचे उदाहरण तुमच्याकडे १
बाय ३ आहे.
म्हणजे ०.३३३३ वगैरे.
आता आमच्या दशमलवात, पुनरावृत्तीत असलेली कोणतीही संख्या असेल
तर, ती पुन्हा सांगण्यासाठी आणखी एक शब्द वापरा.
पुनरावृत्ती म्हणजे त्याची पुनरावृत्ती होत आहे.
त्याचा समानार्थी शब्द वारंवार येत असतो.
मग एवढं मोठं लिहिण्यापेक्षा त्यावर काय ठेवायचं?
जे काही पुनरावृत्ती होत आहे, त्यावर आम्ही बंदी घालतो.
उदाहरणार्थ, जर 3 पुनरावृत्ती होत असेल तर आपण त्यावर 0.3 कसे
ठेवू शकतो?
आणि जो काही आकडा पुनरावृत्ती होत असेल, त्यावर आम्ही बंदी
घालतो.
म्हणजेच, दशांशानंतर पट्टी काय दर्शवेल?
की या आकड्याची पुनरावृत्ती होत आहे.
समजा, आपल्याकडे १.२७२७२७ वगैरे क्रमांक आहे. त्याची फक्त
पुनरावृत्ती होत आहे.
आता तुम्ही म्हणाल,
मॅडम, एका नंबरची पुनरावृत्ती होत नाहीये.
२२२ ची पुनरावृत्ती होत नाही.
७७७ चीही पुनरावृत्ती होत नाही.
पण, हा पॅटर्न तुम्हाला दिसतो.
27 चे पॅकेट बनवा.
त्यामुळे पाकिटाकडे बघत राहा.
272727 हे दोन अंक एकत्र एकाची अनुक्रमणिका दोहोन पुनरावृत्ती
करत आहेत.
272727 आता, आमच्याकडे दोन नंबर आहेत जे पुनरावृत्ती करतात.
तर, ते बारच्या स्वरूपात कशाप्रकारे लिहिले जातील? 1.27
पुनरावृत्ती आहे. आणि त्यावर आम्ही काय ठेवू? एक बार.
हा नामांतराने पुनरावृत्ती होणारा उदाहरण आहे. पुनरावृत्ती
अंत नाही, ती पुन्हा होत असते.
जेव्हा आम्ही समाप्त आणि असमाप्त चा विरोध घेतला, तेव्हा
आम्हाला पुनरावृत्तीच्या विरोधी मिळाले.
पुनरावृत्ती न होण्याचे प्रकरणही आपल्याला मिळू शकते.
मग काय होणार?
अजून एक नॉन-टर्मिनेटिंगचा प्रकरण असेल तरीही तो नॉन-रिपीटिंग
असेल.
सर्वप्रथम, ते संपतही नाही.
आणि त्याहीपेक्षा त्याची पुनरावृत्तीही होत नाही.
तर, अशा प्रकारचे उदाहरण दिले जाते.
तुम्ही कोणतेही उदाहरण देऊ शकता.
उदाहरणार्थ, 1.47 321 437 205 6 कोणताही निश्चित पॅटर्न नाही.
पाकीट नाही.
त्याची पुनरावृत्ती होत आहे.
तरी, हे अनंत अनुक्रमित दशमलव स्वरूपाचे उदाहरण आहे.
आता, आम्ही अंश, दशांश, स्पष्टपणे, समाप्ती, न संपविणारे,
उप-श्रेणीबद्ध, न संपणारे, पुनरावृत्ती न करणारे आणि न
संपणारे असंख्य दशांश केले आहेत, हे आम्ही केलं आहे.
आता आमच्याकडे या सर्वांचा संग्रह आहे.
हे सर्व कोणत्या संग्रहात जाणार आहे? बघूया।
पुढे लिहा
तर्कवादी।
6 वां तर्कसंगत तर्कसंगत संख्या
या संख्यांचे त्यांचे नाम ते प्रतिनिधित्व करणारे संख्या आहेत
ज्यांना आपण P बाय Q च्या रूपात लिहू शकतो. उदाहरणार्थ, आपण
अंशात वाचतो की आपण गणक आणि विभाजकाद्वारे P च्या रूपात अंशात
लिहू शकता.
आपण अंशात वाचतो.
पण, अंशाच्या श्रेणीत सर्व उदाहरणे येणार नाहीत.
उदाहरणार्थ, आम्हाला काही आकडे आहेत जे आम्ही अंशरूपात लिहू
शकत नाही. परंतु, ते तर्कशुद्ध श्रेणीत येतील.
तर, तर्कसंगत आकडे काय आहेत?
लिहिणे।
तर्कसंगत संख्या ही ती संख्या आहे जी आपल्याकडे पी बाय क्यू
च्या रूपात आहे.
पी बाय क्यू फॉर्म.
आता ते विभाजनात लिहिलं आहे.
त्यामुळे आपण शून्याने कधीही विभागू शकत नाही.
म्हणून, खालील गणक नेहमी शून्य नसलेला असावा.
म्हणून, क्यू कधीही शून्य नसावा.
आणि, पी आणि क्यू पूर्णांक असावेत.
Q पूर्णांक असू शकतो किंवा P पूर्णांक असू शकतो.
व्याख्या अशी आहे की आपण पी ला पूर्णांक मानतो.
सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही.
नकारात्मक चिन्ह असेल तर आपण ते गणनेत घेणे पसंत करतो.
आणि, क्यू ही एक नैसर्गिक संख्या आहे.
आम्ही पूर्ण आकडा सांगणार नाही.
जर तो शून्य असेल तर क्यू ही नैसर्गिक संख्या असावी.
आणि, पी पूर्णांक असावा.
त्यामुळे हे संख्या संगणकांच्या भाषेत रॅशनल संख्या म्हणतात.
उदाहरणार्थ, 7 बाय 5 7 शून्य नाही, 7 च्या खाली पी पूर्णांक
आहे आणि 5 खाली एक राष्ट्रीय संख्या आहे. असे म्हणजे 7 बाय 5
ही एक तर्कसंगत संख्या आहे.
जर आपण ० च्या विभाजनात १ लिहित असाल तर त्याच्या वर आणि खाली
दोन्हीत ० असायला नाही पण पी च्या दिशेने वर ० असू शकतो.
समजा आपल्याकडे पी ० आहे.
जर आपण कोणत्याही संख्येत ० च्या विभाजनात १ लिहिला तर तो
आकडा च आपल्याला मिळेल.
० म्हणून आपण काय लिहू शकतो? 0 बाय 1.
तर 0 बाय 1 देखील क्यू बाय पी च्या रूपात आहे.
त्यामुळे आम्हाला तर्कशुद्ध आकडा मिळाला आहे.
जर आम्ही ते नकारार्थी लिहायचे असेल तर आम्ही ते मायनस 2 बाय
7 मध्ये लिहू शकतो.
तर हेही तर्कशुद्ध संख्येच्या स्वरूपात आहे.
आता आम्ही तर्कशुद्ध संख्यांच्या स्वरूपात असणारे हे सर्व
अंश, नैसर्गिक संख्या, संपूर्ण संख्या, पूर्णांक, हे सर्व
वर्ग आहेत.
आता मुख्य विषय दशांशाचा आहे.
कोणत्या प्रकारचे दशमलव संख्या तर्कसंगत संख्येच्या स्वरूपात
असतील आणि कोणत्या प्रकारचे दशमलव संख्या तर्कसंगत संख्येच्या
स्वरूपात नसतील?
त्यामुळे ही दशांशांची श्रेणी होती.
आता ह्या श्रेणीत फक्त दोन श्रेणी आहेत, ज्यांमध्ये निरंतर
अवर्ती श्रेणी आहे.
केवळ हे दोन वर्ग तर्कशास्त्राच्या स्वरूपात असतील.
उरलेली श्रेणी पुनरावृत्ती न करणारी आहे.
हे तर्कसंगत संख्यांच्या स्वरूपात होणार नाही.
हे तर्कसंगत संख्यांच्या विरुद्ध असेल.
तर्कशुद्ध संख्यांच्या विरुद्ध काय असेल? अतार्किक संख्या।
त्यामुळे दशांशाची तिसरी श्रेणी असेल ती अतार्किकतेच्या
स्वरूपात असेल.
मला आशा आहे की आपण ते स्पष्टपणे पाहू शकाल.
ही बाजू मी अतार्किक लिहिली आहे.
त्यामुळे अनंत अवर्ती होणारे संख्यांच्या स्वरूपात अतार्किक
संख्यांची असेल.
आणि नैसर्गिक संख्येपासून ते न संपणाऱ्या पुनरावृत्तीपर्यंत
आपण जे काही अभ्यास केला आहे, इथपर्यंत आपण जे काही आकडे
अभ्यासले आहेत, ते तर्कशुद्ध संख्यांच्या स्वरूपात असतील.
केवळ हा वर्ग अतार्किक संख्येचा असेल.
तर तर्कशुद्ध झाल्यानंतर तुमच्याकडे 7 असतील.
तर्कसंगत नंतर, आपल्याकडे 7 असतील.
अतार्किक संख्या।
त्यामुळे जे काही आकडे तर्कशुद्ध संख्यांच्या श्रेणीत नाहीत,
ते वास्तविक संख्या आहेत. आजवर आपण ज्या ज्या संख्यांचा
अभ्यास केला आहे, जर त्या तर्कवाद्यांच्या श्रेणीत नसतील तर
त्या आपोआप अतार्किकांच्या श्रेणीत येतील.
उदाहरणार्थ, आपल्याकडे चौकोन आहेत.
स्क्वेअर रूट असलेल्या संख्या असल्याने, जसे ४ आधीच २ च्या
स्क्वेअर आहे, पण ३ हा स्क्वेअर नाही, तर रूट ३, रूट ५ हे
नॉन-स्क्वेअर संख्या आहेत, जर ते रूट मध्ये असतील तर ते
अतार्किकांच्या श्रेणीत येतील.
इतर आकडे काय आहेत?
इतर श्रेणी काय आहे? जर आम्हाला अंतर नसलेले दशमलव असतील तर
ते कोणत्या श्रेणीत येतील?
पुनरावृत्ती न होणारी श्रेणी.
त्यामुळे आपल्याकडे त्या प्रकारचे आकडे अतर्क्यतेत असतील.
उदाहरणार्थ, आमच्याकडे पाई होता.
पाई म्हणजे काय? २२ बाय ७? ३.१४७ वगैरे.
ते चालूच राहिले.
त्यामुळे हे न संपणारे आहे.
ती संपुष्टात येत नाही.
आणि त्याच्या दशांशानंतर अंकांची पुनरावृत्ती होत नाही.
त्यामुळे पाईही अतार्किकांच्या श्रेणीत आला.
माझं आशा आहे की आपण सर्व काही समजून घेऊ शकाल,
तर्कसंगततेपासून अतार्किकतेपर्यंत.
नैसर्गिक संख्या, संपूर्ण संख्या, प्रधान, विषम, पूर्णांक,
अंश, दशांश रूप, तर्कसंगत, तर्कहीन.
आता जर आपण या सर्वांची सांगड घातली तर आपल्याकडे हे सर्व
तर्कशास्त्रात आहे.
तर्कशास्त्रात आपल्याकडे नैसर्गिक संख्या, संपूर्ण संख्या,
पूर्णांक, अंश, समाप्ती दशांश, न संपणारे, पुनरावृत्ती दशांश
असतात.
हे सर्व तर्कशुद्धतेत आले.
आणि उरलेले लोक अतर्क्यतेत आले.
या सर्वांचा संग्रह केला तर आपल्याला काय मिळणार?
आम्हाला काय मिळणार?
जेव्हा आपण प्रतींमध्ये एक छोटी वास्तविक ओळ तयार करायचो,
तेव्हा आपण सर्व वास्तविक ओळी तयार करायचो. तुम्ही अशा खऱ्या
ओळी बनवत असत.
मध्यंतरी काय लिहिलंस? तुम्ही मधे ० लिहायचो.
मग इथे १, २, ३ वगैरे.
आणि इथे उणे १, उणे २, उणे ३.
आयतनातील सर्व अशा गुणांचा संग्रह, जसे रेशीम, अरेशीम आणि इतर
काही असेल तेवढेच आहे.
ते दुसरं काही नाही.
जे तुम्ही प्रतींमध्ये बनवत होता, ते खरं रेषा आहे, तो एवढंच
आहे.
वास्तविक रेषा.
मग या सगळ्या संग्रहातून आम्हाला काय मिळालं?
वास्तविक आकडे.
हे सगळे खरे आकडे बनले.
तुम्ही इथपर्यंत पुनरावलोकन करा.
यानंतर पुढच्या वर्गात सांगेन.
त्यानंतर संकल्पना सुरू होईल.
गुंतागुंतीची संख्या किंवा काल्पनिक संख्या.
जसजसे आपण वर्गात पुढे जातो,
हे ही मी तुम्हाला सांगत राहीन.
आत्तापर्यंत तुमची चिंता काय असावी?
वास्तविक संख्यांच्या श्रेणीत काय येईल?
माझं आशा आहे की आज मी तुमच्याकडे शिकवलेल्या संख्या
प्रणालीची तुम्हाला समज आली असेल.
मी जे काही शब्द वापरले आहेत, ते स्पष्ट झाले असावेत.
तुम्हाला उदाहरणांसह समजले असेलच.
आता मी तुम्हाला माझ्या कडून गृहपाठ देऊ इच्छितो.
स्वत: कोणत्याही एक किंवा दोन उपवर्गांची ५-५ उदाहरणे
देण्याचा प्रयत्न करा.
तर तुम्हाला ते दिसेल की हा नंबर कोणत्या श्रेणीत आहे.
धन्यवाद।
पुढच्या लेक्चरमध्ये भेटू.
आणि हा कोर्स पूर्ण करण्यानंतर तुम्हाला नोकरीची गारंटी मिळेल.
माझी गणना करा.
मी माझ्या सर्व वर्गमित्रांपर्यंत हा शब्द पोहोचवण्याची
खात्री करीन.