అందరికీ నమస్కారం, ఆప్టిట్యూడ్ యొక్క మొదటి ఉపన్యాస శ్రేణికి
స్వాగతం.
ఈ రోజు క్వాంటిటేటివ్ ఆప్టిట్యూడ్ చేస్తాం.
అందులో మొదటి అంశం మన నంబర్ సిస్టమ్.
ఆప్టిట్యూడ్ లో అత్యంత ముఖ్యమైన మరియు సులభమైన విషయం నెంబర్
సిస్టమ్ అంటారు.
అంకెలు తెలియకపోతే గణితం ఎలా చేస్తాం? అంకెలే గణితానికి
పునాది అని అర్థం చేసుకోవచ్చు.
లేదా గణిత శాస్త్రానికి పునాది.
కాబట్టి అంకెలే గణితానికి పునాది.
అంకెలు లేకుండా మనం గణితాన్ని ప్రారంభించలేము.
అదేవిధంగా, మాకు అంకెలు తెలియాలనుకుంటే, వాటి వర్గాలను కూడా
తెలుసుకోవాలి.
ఏ సంఖ్య ఏ కేటగిరీకి చెందినది?
కాబట్టి ఈ లెక్చర్ సీరీస్ నుండి మాకు నుండి సంఖ్యల వర్గాలు,
దశాంశాల వర్గాలు, రియల్ సంఖ్యల వర్గాలు, కంప్లెక్స్ సంఖ్యల
వర్గాలు ఏవి ఎందుకున్నాయో అన్నీ నేర్చుకోవాలి.
వీటన్నిటినీ ఈ రోజు ఈ ఉపన్యాసంలో తెలుసుకుందాం.
కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.
మీరు ఆలోచించే మొదటి సంఖ్యలు, ఏ పిల్లల మనస్సులోనైనా మొదట
గుర్తుకు వచ్చేవి, కౌంటింగ్ సంఖ్యలు. 1, 2, 3 మరియు ఇతర
సంఖ్యలు.
కాబట్టి పిల్లవాడు లెక్కించడం ప్రారంభించిన నంబర్లు లేదా మనం
1, 2, 3 నుండి లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు, ఆ తరువాత వచ్చే
అన్ని సంఖ్యలు, అవి ఏ వర్గంలో వస్తాయి?
వాటిని మన సహజ సంఖ్యలు అంటారు.
కారణం మనం స్వభావంగా వస్తున్నాము మరియు లెక్కలు సహజ సంఖ్యలు
అని కూడా అంటారు. అందువల్ల మనం ఒక సంఖ్యను కలిపితే, అది
భారతీయ దినోత్సవంలో ఆర్యభట్ సాహెబ్ సంబంధితంగా ఉపయోగించబడిన
సంఖ్య 0. ఈ సహజ సంఖ్యలకు 0 ని జోడించినట్లు చేస్తే, ఈ సమితిలో
ఉన్న సమస్త సంఖ్యలు పూర్తిగా కలిగి ఉంటాయి.
మొత్తం సంఖ్య సెట్ అని పిలుస్తారు.
కాబట్టి రాద్దాం.
In the lecture, we talked about natural numbers. They are
1, 2, 3 and so on. What do we call all the numbers that
come after crores, 2 crores and so on?
సహజ సంఖ్యలు.
అవి ఎలా సాగుతున్నాయో చూడండి.
1లో మనం ఒక అడుగు ముందుకేస్తే 2 వస్తోంది.
2లో మనం ఒక అడుగు ముందుకేస్తే 3 వస్తున్నాయి.
కాబట్టి మనం 1 నుండి సంఖ్యలలో ఒక అడుగు ముందుకు వేస్తే,
వాటిని మన సహజ సంఖ్యలు అంటారు.
అదేవిధంగా, మొత్తం సంఖ్య ఎంత?
1 నుండి ప్రారంభించడానికి బదులుగా, మనం ఎక్కడ ప్రారంభిస్తాము?
మేము 0 నుండి మా దశలను ప్రారంభిస్తాము.
0 నుంచి..
కాబట్టి మనం 0 నుండి ప్రారంభిస్తాము.
ఆ తర్వాత మరో అడుగు ముందుకేస్తాం.
తర్వాత ఏం జరగబోతోంది? 1.
ఆ తర్వాత మరో అడుగు ముందుకేస్తాం.
2.
అప్పుడు 3.
మొదలైనవి.
ఇంతకీ ఈ కేటగిరీ ఏంటి?
ఇది మొత్తం సంఖ్యల వర్గం.
కాబట్టి సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి 0 కి వెళతాయి.
మరి ఈ మొత్తం సంఖ్యలు ఎక్కడి నుంచి వస్తాయి?
మొత్తం సంఖ్యల నుండి, మరొక జత ఉంది.
అంటే 0.
కాబట్టి మనం 0ని జోడించినట్లయితే, అది మొత్తం సంఖ్య అవుతుంది.
ఇప్పుడు ముందుకెళ్దాం.
మొత్తం సంఖ్యలు మరియు సహజ సంఖ్యలు, ఏవి అయితే వాటికి ఉప
వర్గాలు కూడా ఉన్నాయి.
సరి-బేసి నిబంధన గురించి మీరు వినే ఉంటారు.
సరి-బేసి సంఖ్య..
అది ఎక్కడి నుంచి వచ్చింది?
ఇది గణితం నుండి వచ్చింది.
బేసి సంఖ్య అంటే ఏమిటి?
సమాన సంఖ్య అంటే ఏమిటి?
అప్పుడు మీరు ప్రైమ్ నంబర్ గురించి వినే ఉంటారు.
కాబట్టి వీటన్నిటినీ వాటి ఉప వర్గంలో అధ్యయనం చేస్తాము.
సహజ లేదా సంపూర్ణ సంఖ్యల యొక్క ఉప వర్గంలో.
కాబట్టి, మొదట, మీరు బేసి సంఖ్యను, తరువాత సరి సంఖ్యను
అధ్యయనం చేస్తారు.
మేము ప్రారంభించిన సంఖ్యలు, సహజ సంఖ్యలను ఎక్కడ నుండి
ప్రారంభించాము?
1, 2, 3 నుంచి.
మేము 1 తో ప్రారంభించాము.
కాబట్టి మనం 1 తీసుకుంటే, అది ఎలా అవుతుంది?
బేసి సంఖ్య..
అందువల్ల, ఒక అడుగు ముందుకు వెళ్లకుండా రెండు అడుగులు ముందుకు
వెళ్ళాలి.
ఒక అడుగు ముందుకేస్తే మనకు 2 వస్తాయి.
కానీ మనం రెండు అడుగులు వేస్తే 3 వస్తాయి.
మరి 3 ఏమవుతుంది?
బేసి సంఖ్య..
కాబట్టి రెండు అడుగులను విడిచిన తరువాత, 1 నుండి రెండు
అడుగులను విడిచిన తరువాత మనకు ఏ సంఖ్యలు వస్తాయి, వాటి
సంఖ్యలు ఎలా ఉంటాయి?
బేసి సంఖ్యలు..
కానీ బేసి సంఖ్యలు ఏమవుతాయి? 1, 3, 5, 7 మరియు ఇతర సంఖ్యలు.
బేసి లెక్కలు వచ్చాయి.
ఇప్పుడు, సంఖ్య కూడా.
ఏది సరి, ఏది వింత?
ఒకరికొకరు ఎదురుగా..
ఈ రెండింటి నుండి మనకు ఏమి లభిస్తుంది?
మొత్తం సహజ సంఖ్యల సమూహం.
కాబట్టి అందరికీ 2 పట్టిక తెలుసు.
2 అవి 2, 2 రెండు 4, 2 త్రీలు 6.
So, whatever numbers we get in the table of 2, such as 2,
4, 6, 8, 10, which category do they belong to? We call them
even numbers.
మరి పరోక్షంగా అంకెలు ఏమవుతాయి?
2 ద్వారా విభజించబడుతున్న అన్ని సంఖ్యలు, లేదా 2 పట్టికలో
వచ్చే అన్ని సంఖ్యలను మనం చెప్పవచ్చు.
కాబట్టి 2, 4, 6, 8, 10, మొదలైనవి.
కాబట్టి చూడండి,
In the first lecture of Aptitude, we will be discussing
Quantitative Aptitude. Let's talk about even numbers. If we
start with odd numbers from 1 and take steps of 2, we will
get alternating even and odd numbers. Similarly, if we
start with 2, we get all even numbers.
రెండు అడుగులు ముందుకు వేస్తుంది. ఇక్కడ ఒక అడుగు, మనం మరో
అడుగు వేస్తే 4 ఇక్కడికి వస్తాయి.
అదేవిధంగా, మనం ఎరుగుతూ ఉంటే, మాకు 2 నుంచి ప్రారంభించి రెండు
అడుగులు ముందుకు వెళ్ళి ఏం వస్తుంది?
మాకు సమాన సంఖ్యలు లభిస్తాయి.
కాబట్టి బేసి సంఖ్య సరి సంఖ్య అవుతుంది.
మూడవది ప్రధాన సంఖ్య.
ప్రధాన సంఖ్య అంటే ఏమిటి?
ప్రధానంగా, పరోక్షంగా అంకెలు ఏమవుతాయి?
In this table of 2, we will call all the numbers that come,
and the opposite of even numbers, which are not in the
table of 2, odd numbers.
ఇప్పుడు ప్రైమ్ నంబర్ సీన్ ఏంటి?
ప్రధాన సంఖ్య ఎవరి వద్దకు వస్తుంది?
అది రావడం లేదు.
కాబట్టి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి.
అందరూ ప్రైమ్, అమెజాన్ ప్రైమ్ తీసుకుంటారు.
అదేవిధంగా, మీరు ప్రధాన సంఖ్యలను అనుసంధానించవచ్చు.
అది మాత్రమే మరియు మాత్రమే.
ఇందులో ఒక ప్రత్యేకత ఉంది.
కాబట్టి ప్రధాన సంఖ్యల ప్రత్యేకత ఏమిటంటే, అది తన పట్టికలో
లేదా 1 యొక్క పట్టికలో మాత్రమే వస్తుంది.
1 పట్టికలో అన్నీ వస్తాయి.
కాబట్టి తమ పట్టికలో వచ్చిన అంకెలను మాత్రమే మన ప్రధాన
సంఖ్యలు అని పిలుపుతారు.
కాబట్టి మొదట, ప్రధాన సంఖ్య ఏమిటి?
అది 2 అవుతుంది.
మేము 2 రాయము, ఎందుకంటే మేము దాని నుండి 1 ను మినహాయిస్తాము.
మనం 2 తో ప్రారంభిస్తాం.
కాబట్టి మొదట, 1 తరువాత ఏమి వస్తుంది? 2 వస్తాయి.
కాబట్టి 2 దాని స్వంత టేబుల్ లో మాత్రమే వస్తుంది, మరియు అది
తప్ప మరొకరి టేబుల్ లో ఉండదు.
మరి 2 ఎలా అవుతుంది?
ప్రధాన సంఖ్య.
ఆ తర్వాత 3 వస్తుంది.
3 ఎవరి టేబుల్ లోకి వస్తుంది?
తనే తప్ప.
అది ఎవరి టేబుల్ లోనూ రాదు.
ఇది దాని స్వంత పట్టికలో మాత్రమే వస్తుంది, మరియు 1 పట్టికలో
వస్తుంది.
కాబట్టి 3 రెండవ ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.
ఆ తర్వాత 4 వస్తుంది.
కాబట్టి 3 తర్వాత 4 వస్తాయి.
4 ఎవరి టేబుల్ లోకి వస్తుంది? 1 పట్టికలో 4 వస్తుంది.
4 దాని స్వంత పట్టికలో వస్తుంది.
కానీ 2 పట్టికలో 4 కూడా వస్తుంది.
2, 2 లు 4.
మరి 4 ఎలా అవుతుంది?
నాన్ ప్రైమ్ నంబర్.
కాబట్టి 4 మా ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
ఆ తర్వాత 5 వస్తుంది.
5 ఎవరి టేబుల్ లోకి వస్తుంది?
ఇది దాని స్వంత పట్టికలో వస్తుంది, మరియు 1 పట్టికలో మాత్రమే
వస్తుంది.
అది మరెవరి టేబుల్ లోనూ రాదు.
కాబట్టి 5 మూడవ ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.
అదేవిధంగా, 1 నుండి 10 వరకు ఎన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయి? 2, 3, 5,
7.
మనకు 2, 3, 5, 7 ఎలా ఉన్నాయి?
అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు 1 నుండి 10 మధ్య ఉంటాయి.
అప్పుడు 10 తర్వాత 11 వస్తుంది, 13 వస్తుంది, 17 వస్తుంది,
వగైరా.
ఈ విధంగా, మన ప్రధాన సంఖ్యలు కూడా పెరుగుతూనే ఉంటాయి.
కొత్త శాస్త్రవేత్తలు చివరి ప్రైమ్ నంబర్ ఏదో అంటున్నారు,
చివరి ప్రైమ్ నంబర్ ఏదో కాదు అంటున్నారు, అది ఎంత దూరం
వెళ్తుందో కూడా అన్వేషిస్తూ ఉన్నారు.
ఇవన్నీ మా ప్రధాన సంఖ్యగా మారాయి.
ప్రధాన సంఖ్య తర్వాత, మనం మరొక సంఖ్యను వినే ఉంటాం.
మిశ్రమ సంఖ్య.
కాంపోజిట్ అంటే ఏమిటి?
కాంపోజిట్ అంటే, ఇది రెండు వస్తువులను కలపడం ద్వారా, రెండు
కంటే ఎక్కువ వస్తువులను కలపడం ద్వారా తయారవుతుంది.
కాబట్టి మిశ్రమ సంఖ్య ఎందుకంటే అర్థంగా ఉంది? మీరు తరువాత
ఫాక్టర్లను చదవగలరు, కాబట్టి నేను ఆ పదం
ఉపయోగించనుకుంటున్నాను. ఫాక్టర్లు, విభజన మరియు ఇతర విధాలు.
ఇప్పుడు మనం చదువుతున్నదానికి సంబంధించి చెబుతున్నాను.
మన పట్టికలో రెండు సంఖ్యల విన్యాసంలో మీరు దానిని రాయగలరు.
అందువల్ల ఆ సంఖ్య ఎంతంటే?
మిశ్రమ సంఖ్య.
ఇప్పుడు 4 రాశాను.
4, 4 అనేది ప్రధాన సంఖ్య కాదని నేను చెప్పాను.
కానీ మనం 4 ను ఎలా రాయగలంటే, అది 2 కు గుణించి 2 కు సమానంగా
ఉంటుంది.
కాబట్టి దీనిని మరొక సంఖ్య యొక్క మల్టిపుల్ లో రాస్తున్నారు.
ఇది మన సంఖ్యలకు కావాల్సిన మరొక సంఖ్య యొక్క గుణకంలో
వ్రాయబడుతోంది.
ఇంతకీ ఇదేమిటి?
మిశ్రమ సంఖ్య.
మాకు 4 ఎలా వచ్చాయి?
కాంపోజిట్.
అదేవిధంగా, 5 అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య.
5 అని తప్ప మరే బహుళంలోనూ రాయలేం.
ఇప్పుడు 6 చూద్దాం.
6 ఎలా రాయగలం?
2 నుండి 3.
మనం రాయగలం.
6 కాకుండా, మాకు ఇతర సంఖ్యలు ఉన్నాయి, వాటి గుణకాలు కూడా 6.
మిశ్రమ సంఖ్య అనేది ఒక సంఖ్యలో అతిచిన్న మిశ్రమ సంఖ్య.
అదేవిధంగా ప్రైమ్ లో చూస్తే అంతా 2 నుంచే మొదలవుతుంది.
కాబట్టి, మనకు 2 ఎలా లభిస్తుంది?
మనకు అతిచిన్న ప్రధానమైనదిగా 2 లభిస్తాయి.
మరియు ఇది అతిచిన్న ప్రధానమైనది.
పైన, మనకు 2 ఏ కేటగిరీలో లభిస్తుందో చూడండి?
వింతగా లేదా సమానంగా?
మనకు సమాన సంఖ్యలో లభిస్తుంది.
కాబట్టి, మనకు ఒకే ఒక సమాన సంఖ్య ఉంది, ఇది ప్రధానమైనది.
ఇంతకీ 2 స్పెషాలిటీ ఏంటి?
ఇందులో రెండు ప్రత్యేకతలు ఉన్నాయి.
ఒకటి అతిచిన్న ప్రధాన సంఖ్య.
రెండవది, ఇది ఏకైక ప్రధాన సంఖ్య.
ఇది ఎవరి గురించి మాట్లాడుతోంది?
ఇది 2 గురించి మాట్లాడుతుంది.
2 అనేది ఒకే ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు ఇది అతిచిన్న ప్రధాన సంఖ్య.
అదేవిధంగా, తదుపరి సంఖ్య ఏమిటి? 3.
3 కూడా చిన్నది కాని 2 కంటే పెద్దది.
కాబట్టి, మేము దానిని చిన్నది అని పిలవము.
3 అంటే ఏమిటి? 3 అనేది మొదటి బేసి ప్రధాన సంఖ్య.
అదేవిధంగా, మేము తదుపరి కేటగిరీని చేస్తాము.
ఇది ఎవరికి సంబంధించినది?
ఇది సహజ సంఖ్య మరియు మొత్తం సంఖ్యకు మాత్రమే సంబంధించినది.
ఇప్పుడు, తరువాత మనకు సహజమైన మరియు పూర్తి సంఖ్యలు ఉంటాయి.
మనం ఒక్కొక్కరుగా ముందుకు సాగుతున్నాం.
0 కంటే ఒక అడుగు ముందు 1.
అప్పుడు 1 కంటే ఒక అడుగు ముందు 2.
కానీ జీవితంలో ముందుకు సాగుతాం.
కానీ జీవితంలో ఒక్కోసారి వెనకబడిపోతుంటాం.
మనకు కూడా పతనాలు ఉన్నాయి.
కాబట్టి, మనం 0 వెనుకకు వెళ్లాల్సి వస్తే, అప్పుడు ఏమి
జరుగుతుంది?
కాబట్టి, కొన్ని సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయి.
నిజజీవితంలో ఏం జరుగుతుందో చూడలేకపోతున్నాం.
ఉదాహరణకు, మనం చూడవచ్చు 1.
ఒక బిస్కెట్.
ఒక టోఫీ.
కానీ మైనస్ 1 లేదా నెగిటివ్ చూడగలమా?
మైనస్ 1 టాఫీ లేదా మైనస్ 1 బిస్కెట్ చూడవచ్చా?
కాదు మనం చేయలేము.
కాబట్టి, మనం 0 కంటే ఒక అడుగు వెనుకబడి ఉంటే, అప్పుడు ఏ
సంఖ్యలు వస్తాయి?
గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వీటికి ప్రతికూల సంఖ్యలు అని పేరు
పెట్టారు.
కాబట్టి, మనం 0 కంటే ఒక అడుగు వెనుకకు వెళ్లినా, అక్కడ నుండి
ప్రతికూల సంఖ్యలు ప్రారంభమవుతాయి.
కాబట్టి, అవి నెగెటివ్ పిక్చర్లో వచ్చినప్పుడు, ఆ నంబర్లను
పాజిటివ్ నంబర్లా అంటాము.
కాబట్టి, ఇక్కడ నుండి, మేము ప్రతికూల సంఖ్యలు మరియు సానుకూల
సంఖ్యల గురించి మాట్లాడటం ప్రారంభిస్తున్నాము.
మంచివాళ్లు, చెడ్డవాళ్ల గురించి.
కాబట్టి, ముందుకు వెళ్దాం.
తర్వాత ఏం చేద్దాం?
మొదటి వర్గం సహజ సంఖ్యలు.
అప్పుడు పూర్తి సంఖ్యలు.
అప్పుడు వారి ఉపవర్గాలు ప్రధానమైనవి, బేసివి, సమమైనవి మరియు
సమ్మిళితమైనవి.
మరి, ఇప్పుడు మన దగ్గర ఏముంది?
మూడో కేటగిరీ..
పూర్తి సంఖ్యల తరువాత, మాకు మూడవ వర్గం ఉంది.
అది సంపూర్ణ సంఖ్యలు.
పూర్తి సంఖ్యలలో, మాకు 0 ఉంది.
ఇప్పుడు, మనం 0 నుండి మొత్తం సంఖ్యలను చదివాము.
0, 1, 2, 3 మొదలైనవి.
ఒక్కో అడుగు ముందుకేస్తున్నాం.
ఇప్పుడు ఒక అడుగు వెనక్కి వేస్తే..
మనం ఒక అడుగు వెనకబడి 0.
కాబట్టి, మేము 0 కంటే ఒక అడుగు వెనుకబడి ఉన్నాము.
కాబట్టి, మేము తిరిగి వెళ్ళడానికి సంకేతాన్ని సూచిస్తాము.
దానిని ప్రతికూల సంకేతంగా సూచిస్తాం.
మనం 0 కంటే ఒక అడుగు వెనకకు వెళ్లితే, అది నెగటివ్ 1 అవుతుంది.
మీకు అర్థమైందా?
0 నుంచి ఒక అడుగు ముందుకేశాం.
కాబట్టి, ఇది పాజిటివ్ 1.
మనం 0 కంటే ఒక అడుగు వెనుకకు వెళితే, అది నెగిటివ్ 1 అవుతుంది.
మనం 0 నుండి రెండు అడుగులు ముందుకు వెళుతుంటే, అది పాజిటివ్ 2.
మనం 0 కంటే రెండు అడుగులు వెనక్కు వెళ్లాల్సి వస్తే అది
ప్రతికూల సంకేతంగా మారుతుంది. మనం 0 కంటే రెండు అడుగులు
వెనక్కు వెళ్తే అది నెగెటివ్ 2 అవుతుంది.
అందుకే ఈ నకరాత్మక సంఖ్యల పరంపర వ్యతిరేక దిశ నుంచి
మొదలవుతుంది.
ఇలా 1, 2 రాస్తాం.
కానీ దీన్ని ఎలా రాస్తాం?
మైనస్ 1, మైనస్ 2, మైనస్ 3.
కాబట్టి, ఇది ఇలా వెళుతుంది, మైనస్ 3.
మరియు ఇది కూడా 0 కంటే ఒక అడుగు వెనుకకు వెళుతుంది.
మీకు అర్థమైందా? పూర్తి సంఖ్యలు అంటే ఏమిటి? పూర్తి సంఖ్యల
సమూహం అంటే ఏమిటి?
మొదట, మనకు తటస్థ 0 అవసరం.
అప్పుడు మాకు పాజిటివ్ నంబర్లు ఉంటాయి.
పాజిటివ్ 1, 2, 3 మొదలైనవి.
అప్పుడు మనకు నెగెటివ్ నెంబర్లు ఉంటాయి.
నెగెటివ్ 1, నెగెటివ్ 2, నెగెటివ్ 3 ఇలా..
ఈ రెండు అంకెలు అంతులేనివి.
రెండు వైపుల నుంచి..
ఈ రెండు అంకెలు అంతులేకుండా సాగుతున్నాయి.
ఎందుకంటే ఈ సంఖ్యల ప్రారంభ సంఖ్య మనకు తెలియదు.
కోటి అనేది అతి పెద్ద సంఖ్య అని చెబితే..
1 కోటి కంటే పెద్దది కాదు.
అప్పుడు నేను చెబుతాను, 1 కోటికి 1 రూపాయి జోడించండి.
మీరు 1 రూపాయిని 1 కోటికి జోడిస్తే, అది 1 కోటి 1 అవుతుంది.
కాబట్టి, ఇది పెరుగుతూనే ఉంటుంది.
మీరు నాకు ఏదైనా నంబర్ ఇస్తే, నేను దానికి 1 రూపాయి జోడించి
మీకు పెద్ద నంబర్ ఇస్తాను.
అనేది అందరికీ తెలిసిందే.
అదేవిధంగా నెగెటివ్ సైడ్ లోకి వెళితే..
అప్పుడు నేను దాని నుండి మరో సంఖ్యను తీసివేస్తాను.
నాకు ఏ సంఖ్య అయినా ఇవ్వండి, చిన్నది.
దాని నుంచి మరో నంబర్ తీసివేస్తాను.
అప్పుడు నేను మరింత వెనక్కి వెళతాను.
అయితే, ఈ సంఖ్యలు ఏమిటి?
ఈ వ్యవస్థ ఏమిటి?
అవి అంతులేనివి.
వాటికి అంతం లేదు.
అందుకే అవి అనంతంగా సాగుతున్నాయని చెబుతుంటాం.
అవి అంతులేకుండా సాగుతున్నాయి.
కాబట్టి, మాకు పూర్తి సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
పూర్తి సంఖ్యలు సున్నా పాజిటివ్ సంఖ్యలు.
నేను పూర్తి సంఖ్యలు రాస్తే.
పూర్తి సంఖ్యలకు ఏమి జరుగుతుంది?
పూర్తి సంఖ్యల్లో మూడు కేటగిరీలు ఉంటాయి.
మొదట, సున్నా.
ఏది తటస్థంగా ఉంటుంది.
దానికి ఎలాంటి సంకేతాలు లేవు.
పాజిటివ్ లేదా నెగెటివ్ కాదు.
ఇది తటస్థంగా ఉంటుంది.
అప్పుడు మాకు పాజిటివ్ నంబర్లు ఉంటాయి.
1, 2 వంటి పాజిటివ్ నంబర్లు.
పాజిటివ్ అంకెలు..
మన దగ్గర ఇంకేముంది?
మూడవది, ప్రతికూల సంఖ్యలు.
నెగెటివ్ నంబర్లలో మైనస్ 1, మైనస్ 2 మొదలైనవి ఉంటాయి.
ఒక ఉదాహరణ చెప్తాను.
నిజ జీవితంలో పూర్తి సంఖ్యలను మీరు ఎలా అనుసంధానించగలరు?
ఎదురుగా ఉన్న లిఫ్ట్ చూడండి.
మీరు లిఫ్ట్ చూశారని నేను ఆశిస్తున్నాను.
మీరు దానిని ఉపయోగించారని నేను ఆశిస్తున్నాను.
ప్రస్తుతం అన్ని మెట్రో స్టేషన్లలో దీన్ని వినియోగిస్తున్నాం.
లిఫ్ట్ లో గ్రౌండ్ లెవల్ ను పరిశీలిస్తే..
ఈ సంఖ్య క్షేత్ర స్థాయిలో దేనిని సూచిస్తుంది?
పక్కన జీరో అని రాసి ఉంటుంది.
మనం గ్రౌండ్ లెవెల్ లో ఉన్నప్పుడు జీరో అని రాస్తారు.
రెండో అంతస్తుకు వెళ్లాలి అనుకుందాం.
మనం ఏ బటన్ నొక్కాలి?
2కు అది పెరుగుతుంది.
సున్నా నుంచి లిఫ్ట్ పైకి వెళ్తుంటే..
ఒక్కో అంతస్తును కలుపుతున్నారు.
పాజిటివ్ కేసులు పెరుగుతూనే ఉంటాయి.
1, 2, 3.
ఎన్ని అంతస్తులు ఉంటాయి?
ఇప్పుడు మనం కిందకు దిగాలి అనుకుందాం.
మనం ఎలా సూచిస్తాం?
సున్నా నుంచి వెనక్కి వెళ్లాలని సూచిస్తున్నామనుకోండి.
ఇక్కడ పాజిటివ్ కేసులు పెరుగుతున్నాయి.
ఇప్పుడు మనం ఒక అంతస్తులోకి వెళ్లాల్సి వస్తే..
కింద పార్కింగ్ ఉంది.
అందులో మనమేం చేస్తాం?
అందుకోసం ఏం పట్టుకోవాలి?
మీరు చూసి ఉంటారు.
ఇందులో మైనస్ 1, మైనస్ 2 ఉన్నాయి.
అటువంటి సంఖ్యలు క్రింది వైపుకు సూచించబడతాయి.
మైనస్ 1, మైనస్ 2.
కింద అంతస్తుల కోసం..
మీరు పూర్తి సంఖ్యల అంశాన్ని అర్థం చేసుకున్నారని నేను
ఆశిస్తున్నాను.
పూర్తి సంఖ్యలు అంటే ఏమిటి?
పూర్తి సంఖ్యల తరువాత మనకు ఏమి లభిస్తుంది?
ఇప్పటి వరకు మనం ఒక పరిమాణం గురించే మాట్లాడుకునేవాళ్లం.
మనం ఒక అడుగు వేయాలి.
లేదా ఒక టోఫీ ఇస్తున్నాం.
లేదా ఒక చాక్లెట్ ఇస్తున్నాం.
కానీ, మీ తమ్ముడు మిమ్మల్ని ఏదైనా అడిగితే..
మీరు అతనికి మొత్తం ఇస్తారు.
చాక్లెట్ తింటుంటే..
మీ తమ్ముడు చాక్లెట్ అడిగితే..
అతనికి మొత్తం చాక్లెట్ ఇస్తారా?
లేదు, సరియైనదా?
అందులో సగభాగం వాడికి ఇస్తావు.
లేదా అతనికి చిన్నది ఇవ్వండి.
లేదా అందులో ఒక్క క్యూబ్ మాత్రమే ఇస్తారు.
ఇంతకీ అదేమిటి?
ఇది మొత్తం సంఖ్య లాంటిది కాదు.
కాబట్టి, దానిలో మనకు ఏమి లభిస్తుంది?
భిన్నాంశాల కాన్సెప్ట్ అక్కడి నుంచే మొదలవుతుంది.
అంటే, మనకు మొత్తం లభిస్తుంది.
ఉదాహరణకు ఇలాంటి చాక్లెట్ మన దగ్గర ఉంది.
అందులో చిన్న చిన్న క్యూబ్స్ ఉంటాయి.
అంటే, మన దగ్గర ఐదుగురు ఉన్నారనుకోండి.
కాబట్టి, మేము ఈ వైపు మాత్రమే ఇస్తుంటే.
అంటే సగం చాక్లెట్ ఇస్తున్నాం.
మనం ఇంత కూడా ఇవ్వడం లేదనుకోండి.
ఇది మాత్రమే ఇస్తున్నాం.
పైన నాలుగు.
కాబట్టి, దీనిలో భాగం ఎంత?
మొత్తం మీద, మనకు ఎన్ని క్యూబ్ లు ఉన్నాయి?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
మొత్తం 10 ముక్కలు ఉన్నాయి.
అన్ని టుక్కులు 10 ఉన్నాయి, కానీ మేము మా చిన్న సోదరులకు
మాత్రమే 4 టుక్కులు ఇస్తున్నాము.
కాబట్టి, దీనిని గణితపరంగా ఎలా చేయాలి?
మీ తోబుట్టువుకు ఎన్ని ముక్కలు ఇచ్చారు?
కాబట్టి, మీరు మీ తోబుట్టువుకు ఎన్ని ముక్కలు ఇచ్చారు?
పైన రాయండి మరియు మొత్తం ఎన్ని ముక్కలు ఉన్నాయి?
దానిని క్రింది విభజనలో రాయండి.
కాబట్టి, మీరు మీ తోబుట్టువుకు ఇంత చాక్లెట్ ఇచ్చారు.
కాబట్టి, ఇక్కడ నుండి, భిన్నాంశాల భావన వస్తుంది.
కాబట్టి, పూర్తి సంఖ్యల తరువాత తదుపరి శీర్షికను రాయండి.
భిన్నాంశాలు భిన్నాంశాలకు ఉదాహరణ ఏమిటి?
ఫ్రాక్షన్ లో, ఒకటి పైన మరియు ఒకటి దిగువన ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, మనం 1 బై 2 అని రాస్తాము, ఇది సగం.
పై సంఖ్యను అంకె అంటారు.
మరియు దిగువ సంఖ్యను డినామినేటర్ అంటారు.
కాబట్టి, ఫ్రాక్షన్ నంబర్లు ఈ రకానికి చెందినవి.
1 నుంచి 2
లేదా 2ను ఫ్రాక్షన్ లో రాయవచ్చు.
ఫ్రాక్షన్ టైప్ లో.
ఎందుకు కాదు?
మనం 1ని 2 కంటే తక్కువ డివైడ్ లో రాస్తే.
కాబట్టి, 1 ద్వారా విభజించబడిన ఏదైనా తనే అవుతుంది.
కాబట్టి, ఇది ఫ్రాక్షన్ అంకె మరియు డినామినేటర్ రూపంలో
ఉంటుంది.
అయితే, మాకు 2 ఎలా వచ్చింది?
మనం దానిని ఫ్రాక్షన్ సంఖ్యలో చెప్పవచ్చు.
అదేవిధంగా, 3 బై 4.
భిన్నంలో, పై సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ చిన్నదిగా ఉండకండి అని అవసరం
లేదు.
లేదా కింద ఉన్న సంఖ్య ఎప్పుడూ పెద్దదిగా ఉంటుంది.
ఇది దీనికి విరుద్ధంగా ఉండవచ్చు.
చూడండి, ఇది 2 బై 1.
ఇంతకీ, పైన 2 అంటే ఏమిటి?
ఇది 1 కంటే పెద్దది.
మరియు క్రింద ఉన్నది చిన్నది.
కాబట్టి, పై సంఖ్య పెద్దది లేదా చిన్నది కావచ్చు.
అదే విషయం క్రింద ఉంది.
డినామినేటర్ సంఖ్య కంటే పెద్దది లేదా చిన్నది కావచ్చు.
కాబట్టి, మనం ఏ సంఖ్యనైనా అంకెల రూపంలో రాయవచ్చు.
ఆ సంఖ్యను ఫ్రాక్షన్స్ అంటారు.
చిన్న చిన్న వరకు అందరికీ అర్థమైందా?
ఇప్పుడు, భాగాల తరువాత, మీరు 1 బై 2 రాసినట్లుగా.
1 బై 2 అంటే ఏమిటి? 1 బై 2 అనేది మొత్తం. నేను ఏమి చెప్పాను?
డినామినేటర్ మొత్తంగా ఉంటుంది.
మరియు అంకె అనేది మనం ఏమి ఇస్తున్నాము లేదా ఏమి
ఉపయోగిస్తున్నాము.
కాబట్టి, మనకు సంఖ్యాబలం ఉంది.
దాన్ని మనం వాడుతున్నాం.
కాబట్టి, మాకు మొత్తం 2 ఉన్నాయి.
మనకు మొత్తం 2 బ్లాకులు ఉన్నాయనుకోండి.
దాని నుంచి మనం ఎంత ఉపయోగించాలి? ఉదాహరణకు, మనం కేవలం 1
బ్లాక్ మాత్రమే ఉపయోగించాలి.
కాబట్టి, ఈ భాగాన్ని 1 బై 2 అంటారు.
అంటే, మనం 1 భాగాన్ని ఉపయోగించాలి.
మొత్తం ఎన్ని భాగాలు ఉన్నాయి?
మొత్తం 2 భాగాలు.
ఇప్పుడు అలా చూస్తే..
దాన్ని విభజిస్తే..
1 బై 2 అనేది ఒక భాగం.
కొత్త స్లైడ్ లో చెబుతాను.
ఇది ఒక భాగం.
ఉదాహరణకు, 1 బై 2.
దాని అర్థం ఏమిటి? 1 బై 2 అంటే.
లోపల 1 రాస్తాం.
మరియు 2 మా దివిసర్.
దాని నుంచి విడిపోతాం.
దీన్నే డివైజర్ అంటారు.
మనకు 1 ఉంది.
డివిడెండ్..
ఇప్పుడు డివైడ్ 2.
1 ని 2 తో విభజించలేము.
1 దాని పట్టికలోకి రాలేదు.
కాబట్టి, మనం ఏమి చేయాలి? మీరు మీ బాల్య క్లాస్‌లో విభజనం
నేర్పుకున్నారు కానీ.
దాని ముందు 0 వేస్తాం.
1 తర్వాత 1, 0 వేస్తాం.
ఇక్కడ 0 పెడితే..
అలాంటప్పుడు, మనం కోషియంట్ లో ఏమి ఉంచాలి?
మనం ఒక దశాంశాన్ని వేయాలి.
కాబట్టి, మేము దశాంశ ముందు దేనినీ విడిచిపెట్టము.
దశాంశము అంటే ఏమిటి?
ఇది ఒక పాయింట్.
కాబట్టి, నాకు 0 పాయింట్ లభిస్తుంది.
ఇప్పుడు చూడండి.
10 అయింది.
1 కి బదులుగా 10 అయింది.
కాబట్టి, మేము 10 ని 2 తో విభజిస్తాము.
ఏం వస్తుంది?
2 సార్లు 5 అంటే ఏమిటి? 10.
కాబట్టి, మేము 5 తో విభజిస్తాము. 2 సార్లు 5 అంటే 10.
అలా 10 అయింది.
మిగిలినవి ఏమిటి? 0.
కాబట్టి, మనం దశాంశాన్ని రాయాల్సి వస్తే.
ఒకవేళ మనం దశాంశాన్ని రాయాల్సి వస్తే.
అప్పుడు, మనం 1 బై 2 ఏమి రాయగలం?
మనం 1 బై 2 ను 0.5 గా రాయవచ్చు.
ఇలాంటి పాయింట్ వాడాల్సి వచ్చినప్పుడు..
అప్పుడు, మేము దీనిని దశాంశ రూపం అని పిలుస్తాము.
ఇప్పుడు, మీ దశాంశ రూపం ఏమిటి? 0.5 ఈ దశాంశములో చూడండి.
5 ముందు సంఖ్య లేదు.
5 ముందు 0, 0, 0 రాయవచ్చు.
ఫరవాలేదు.
కానీ, 0 ముందు సంఖ్య లేదు.
ఇంతకీ ఏం జరుగుతోంది?
దశాంశాన్ని ఆపేస్తున్నారు.
5 తర్వాత ఇక్కడే ఆపేస్తారు.
కాబట్టి, ఇలాంటి దశాంశ రూపాలు ఏమిటి?
ఇంగ్లిష్ లో స్టాప్ పేరేంటి?
ముగింపు..
కాబట్టి, ఈ రకమైన దశాంశము.
1 సంఖ్య తర్వాత, లేదా 2 సంఖ్యల తర్వాత, లేదా 10 సంఖ్యల తర్వాత.
అది ఆగిపోతుంది.
కాబట్టి, ఆ దశాంశాలను ముగింపు దశాంశమని పిలుస్తారు.
ముగించడం అంటే అది ముగియడం అని అర్థం.
ఈ రోజుల్లో ఉద్యోగాలు మనల్ని తొలగిస్తున్నాయని అంటుంటాం.
దాన్ని వదిలేశారు.
అది ముగిసిపోయింది.
అది ఆగిపోయింది.
అది పూర్తయింది.
ఇక ఉంటా.
కాబట్టి, మేము దశాంశాన్ని ముగించాము.
ఇది 1, 2 లేదా కొన్ని పరిమిత సంఖ్యల తరువాత.
పరిమితం అంటే కొన్ని సంఖ్యా అంకెల తరువాత.
అది ఆగిపోయింది.
అది దశాంశ రూపం.
కాబట్టి, మేము ముగించాము.
ఇప్పుడు దీనికి విరుద్దంగా చూస్తే..
ఆ తర్వాత నాన్-ఎండింగ్.
రద్దు కానిది ఏమిటి?
అది ఆగదు.
అది ఎప్పటికీ ఆగదు.
కాబట్టి, మాకు నాన్-టెర్మినేషన్ ఉంటుంది.
మీరు 2 పదాలను అర్థం చేసుకున్నారు.
ముగించడం మరియు ముగించకపోవడం.
అందుకే కొత్త శీర్షిక రాశారు.
భాగాల తరువాత, తదుపరి శీర్షిక ఉంటుంది.
అది ఏ నెంబరు?
4వ స్థానంలో ఉంది.
కాబట్టి, మాకు 5 వ సంఖ్య ఉంటుంది.
5 వ సంఖ్య దశాంశాలుగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు, దశాంశానికి సంబంధించిన అన్ని కేటగిరీలు.
దశాంశ రకం ఏమిటి?
0.123 లాంటిది.
లేదా 4.749.
ఈ రకాల సంఖ్యలన్నీ దశాంశ రూపంలో ఉంటాయి.
మనం భిన్నాంశాల నుండి దశాంశాలకు వెళ్ళవచ్చు.
మరియు దశాంశాల నుండి భాగాల వరకు.
మీరు భాగాల నుండి దశాంశాలను నేర్చుకున్నారు.
ఇప్పుడు, దశాంశాల నుండి భాగాలకు ఎలా వెళతాము?
ఆ విషయం నేను చెబుతాను.
దశాంశాల నుంచి భిన్నాంశాలకు ఎలా వెళతాం?
మన దగ్గర ఒక నెంబరు ఉందనుకోండి.
0.123.
మనం ఏం చేయాలి?
దశాంశాన్ని తొలగించండి.
కాబట్టి, మనం దశాంశాన్ని తొలగిస్తే.
మేం విడిపోయినప్పుడు..
మనం దశాంశాన్ని ఉంచినప్పుడు.
అందుకని, మేము డివైజర్ చేసాము.
చివరి ప్రశ్నలో చూడండి.
మేము 1 తో 0 ఉంచాము.
పైన దశాంశాన్ని ఉంచినప్పుడు.
కాబట్టి, మేము 0 ను 1 ముందు ఉంచాము.
అదేవిధంగా, మనం దశాంశాన్ని తొలగించినప్పుడు.
కాబట్టి, మనం 0 ని డివైడ్ లో రాయాలి.
మొదట, దశాంశాన్ని తొలగించడానికి మనం 1 రాస్తాము.
మరియు దశాంశానికి ముందు ఉన్న అన్ని సంఖ్యలు.
దశాంశానికి ముందు ఉన్న అన్ని అంకెలు.
అంకెలు అంటే ప్రతి సంఖ్య.
ఇవి దశాంశానికి ముందు ఉంటాయి.
మేము 0 ని 1 ముందు ఉంచుతాము.
అంటే ఇక్కడ 0.123గా ఉంది.
ఇంతకీ ఆ పాయింట్ తర్వాత ఏముంది? 1, 1 సంఖ్య, 2, 3.
కాబట్టి, దశాంశ తరువాత ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి? 3.
కాబట్టి, మనం 3 సున్నాలు రాయవచ్చు.
మేము దశాంశాన్ని తొలగించాము.
1 రాశాం.
దశాంశానికి ముందు ఉన్న అన్ని అంకెలు.
మేము వారి ముందు 0 ఉంచాము.
కాబట్టి, ఇది భిన్న రూపం.
మనం దశాంశము నుండి భిన్నము వ్రాయవచ్చు.
అంటే, ఈ దశాంశము 0.123.
కాబట్టి, మాకు ఫ్రాక్షన్ ఫారం లభించింది.
కాబట్టి, మనం భిన్నాన్ని దశాంశానికి మార్చవచ్చు.
మరియు మనం దశాంశాన్ని భిన్నంగా మార్చవచ్చు.
ఇది దశాంశము నుండి భిన్నము వరకు ఉంటుంది.
మరియు దశాంశానికి భిన్నం.
ఇప్పుడు, సబ్ కేటగిరీలు చేయండి.
దశాంశ ఉపవర్గాలు.
ఇప్పుడు దశాంశ ఉపవర్గాలు రాశాను.
దశాంశ ఉపవర్గాలు.
దశాంశ ఉపవర్గాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, మాకు ఈ రకమైన సంఖ్యలు
ఉన్నాయి. ఇవి ముగించడం వల్ల పొలింగిపోవటం అని అర్థం.
ఏ సంఖ్య కూడా ముగిసిపోలేదనుకోండి.
ఉదాహరణకు, మీరు పై అనే సంఖ్యను చదివి ఉంటారు.
మీరు పై చదివి ఉంటారు.
2 pi r వ్యాసార్థం 2 Pi r చుట్టుకొలత సూత్రం. కాబట్టి, పై
అంటే ఏమిటి?
మీరు ప్రశ్నలలో దాని దశాంశ రూపాన్ని ఉపయోగించినప్పుడు, 22 బై
7 లేదా 3.14 వాడవచ్చు.
3.14 4 తరువాత పూర్తయిందని మీరు చూడవచ్చు.
కానీ, ప్రశ్నలు, న్యూమరికల్స్ ను పరిష్కరించడానికి దీనిని
ఉపయోగిస్తాం.
కానీ, మీరు భిన్నం చేసుకోవడానికి నేను మీకు ప్రియమైన 22 ను 7
తో విభజించాలని నేర్పించాను.
అప్పుడు, మీరు ఎప్పటికీ అంతం పొందలేరు.
3.147గా కొనసాగుతుంది.
శాస్త్రవేత్తలు అంకెలను కనుగొంటున్నారు.
కాబట్టి, మనం పైని ఎలా పొందుతాము? 22 బై 7 లేదా 3.147
మొదలైనవి.
కాబట్టి, ఈ రకం దశాంశాలు ఏమిటి?
ఈ రకమైన దశాంశాలను మనం ఎలా పొందుతాము?
ముగింపు లేని దశాంశాలు.
ఇది ఏమిటీ?
ముగింపు లేని దశాంశాలు.
ఇప్పుడు, ఒక ఉదాహరణ చూడండి.
1 బై 3 మీకు ఒక కొత్త ఉదాహరణ ఉంది.
1 బై 3 అనే సంఖ్య ఉంది.
ఇది ఒక భాగం.
దాన్ని దశాంశంగా మార్చాలి.
చేయి.
ఫలితం ఎలా ఉంటుంది?
పై సంఖ్య లోపలికి వెళ్తుంది.
మరియు, సంఖ్య 3 ఒక దివిజర్ గా మారుతుంది.
కాబట్టి, 3 మరియు 1 పట్టిక 3 నుండి వెళ్ళవు.
కాబట్టి, మనం ఒక పాయింట్ వేసి 0 వేయాలి.
మీకు కావాల్సినన్ని పెట్టుకోవచ్చు.
ఇప్పుడు, మీరు 1 లేదా 2 వేయవచ్చు.
అది పట్టింపు లేదు.
ఉదాహరణకు 1 పెట్టాం అనుకుందాం.
సో, 3.
3 యొక్క పట్టికలో 10 కంటే చిన్న సంఖ్య ఏది? 9 ఉంది.
3 x 3 అంటే 9.
కాబట్టి, ఇది 0.3 అవుతుంది.
మిగిలినవి ఏమిటి? 1.
దశాంశ ఎగువ కోషియంట్ లో 1 పాయింట్ పెట్టినప్పుడు, మాకు విరామం
లభిస్తుంది.
ఎన్ని జీరోలు కావాలన్నా పెట్టుకోవచ్చు.
మళ్లీ 0 పెడితే మళ్లీ 10 అవుతుంది.
అదే రిపీట్ అవుతోంది.
కాబట్టి, ఇది మళ్లీ 3 నుండి వెళుతుంది.
3 x 3 అంటే 9.
అదే విధంగా మిగిలినవి మళ్లీ 10 అవుతాయి.
అదేవిధంగా 0.33333 పెరుగుతూనే ఉంది.
కాబట్టి, మనం 1 x 3 ని 0.33333 గా రాయవచ్చు.
ఇది పెరుగుతోంది.
33 అంతులేకుండా సాగుతుంది.
ఇది ఒక లూప్ ను సృష్టిస్తుంది.
కాబట్టి, మనం 1 x 3 ని 0.33333 గా రాయవచ్చు.
అది ముగిసిపోలేదు.
33 పెరుగుతున్నాయి.
అయితే, ఇది ఎవరి ఉదాహరణలో వచ్చింది?
ఆటోమేటిక్ గా అది నాన్-టెర్మినేషన్ అనే ఉదాహరణలోకి వచ్చింది.
ఎందుకంటే అది రద్దు కావడం లేదు.
అలాగే చూస్తే ఇదో ఉదాహరణ.
అంతం కానిది, అంతం కానిది, కానీ ఇది ఏమి జరుగుతోంది?
ఇది పునరావృతమవుతోంది.
3 పదేపదే పునరావృతమవుతోంది.
కాబట్టి, ఇది ఒక ఉదాహరణ.
నాన్-టెర్మినేషన్లో కూడా రెండు కేటగిరీలు ఉంటాయి.
అంటే, అంతం కానిది, అంతం కానిది దశాంశము, కానీ అది
పునరావృతమవుతోంది.
కాబట్టి, ముగించని, దశాంశాన్ని పునరావృతం చేయడం, ఒక వర్గం ఇది.
నీది ఎవరి ఉదాహరణ? 1 బై 3. ఎవరి ఉదాహరణ 1 బై 3.
అంటే 0.3333 వగైరా.
ఇప్పుడు, మన దశాంశం పునరావృతి అయిన సంఖ్యలు ఉంటే, పునరావృతి
అనే మరొక పదాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
పునరావృతమవడం అంటే అది పునరావృతమవుతోంది.
దాని పర్యాయపదం పునరావృతమవుతోంది.
ఇంత పెద్దదిగా రాసే బదులు ఏం పెట్టాలి?
ఏది రిపీట్ అవుతున్నా దానిపై బ్యాన్ వేస్తాం.
ఉదాహరణకు, 3 పునరావృతమైతే, దానిపై మనం 0.3ని ఎలా ఉంచగలం?
ఏ నంబర్ రిపీట్ అవుతున్నా దానిపై బ్యాన్ వేస్తాం.
అంటే, దశాంశము తరువాత బార్ దేనిని సూచిస్తుంది?
ఈ సంఖ్య పునరావృతమవుతోంది.
ఉదాహరణకు మనకు 1.272727 మొదలైన సంఖ్య ఉందనుకుందాం. ఇది
పునరావృతమవుతోంది.
ఇప్పుడు, మీరు చెబుతారు,
మేడమ్, ఒక నంబర్ రిపీట్ కావడం లేదు.
222 రిపీట్ కావడం లేదు.
777 కూడా పునరావృతం కావడం లేదు.
కానీ, మీరు ఈ నమూనాను చూస్తారు.
27 ప్యాకెట్ తయారు చేయండి.
కాబట్టి, ప్యాకెట్ ను చూస్తూ ఉండండి.
272727 ఈ రెండు అంకెలు ఒకే క్రమంలో పునరావృతం అవుతుంది.
272727 కాబట్టి, మనకు రెండు సంఖ్యలు పునరావృతమవుతున్నాయి.
కాబట్టి, దానిని బార్ రూపంలో ఎలా రాస్తాం? 1.27 రిపీట్
అవుతోంది. మరి దాని మీద మనం ఏం వేస్తాం? ఒక బార్.
ఈ పునరావృతం లో నాన్-టెర్మినేటింగ్ ఉదాహరణం మాకు ఉంది.
పునరావృతం అవుతుంది.
పూర్తి చేయలేని మరణించడం మరియు పూర్తి చేయుటకు వచ్చినప్పుడు,
పునరావృతం యొక్క విరుద్ధంగా ఉండుకొనినాము.
పునరావృతం కాని కేసును కూడా మనం పొందవచ్చు.
ఇంతకీ ఏం జరగబోతోంది?
మరొక కేసు నాన్-టెర్మినేటింగ్ కాదు, కానీ ఇది పునరావృతం కాదు
మరియు పునరావృతించలేదు.
మొదటిది, అది కూడా ముగియలేదు.
పైగా అది కూడా పునరావృతం కావడం లేదు.
కాబట్టి, ఈ రకమైన ఉదాహరణ చేయబడింది.
మీరు ఏదైనా ఉదాహరణ చేయవచ్చు.
ఉదాహరణకు, 1.47 321 437 205 6 స్థిర నమూనా లేదు.
ప్యాకెట్ లేదు.
అది పునరావృతమవుతోంది.
కాబట్టి, పునరావృతం కాని దశాంశ రూపానికి ఇది ఉదాహరణ.
కాబట్టి, మేము భాగాలు, దశాంశాలు, స్పష్టంగా, ముగింపు, ముగింపు
లేని, ఉప-స్పష్టంగా, ముగించని, పునరావృతం కాని మరియు
పునరావృతం కాని దశాంశాల గురించి మాట్లాడాము.
ఇప్పుడు వీటన్నింటి సేకరణ మా దగ్గర ఉంది.
ఇవన్నీ ఏ సేకరణలోకి వెళతాయి? చూద్దాం.
తరువాత, రాయండి
హేతువాదులు..
6 వ హేతుబద్ధ సంఖ్యలు
హేతువుల సంఖ్యలు అంటే మనం P నుంచి Q రూపంలో వ్రాయగల సంఖ్యలు.
ఉదాహరణకు, మీరు ఫ్రాక్షన్ లో P రూపంలో సంఖ్యను నుమరేటర్ మరియు
డెనామినేటర్ ద్వారా రాయవచ్చు.
మనం ఫ్రాక్షన్ లో చదువుతాం.
కానీ, ఫ్రాక్షన్ కేటగిరీలో అన్ని ఉదాహరణాలు రాకపోవు.
ఉదాహరణకు, మనకు కొన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయి జియోమెట్రి రూపంలో
రాయలేరు. కానీ, అవి హేతుబద్ధమైన కేటగిరీలోకి వస్తాయి.
కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన సంఖ్యలు ఏమిటి?
రచించు.
హేతుబద్ధమైన సంఖ్యలు అంటే Q ద్వారా P రూపంలో మనకు ఉన్న
సంఖ్యలు.
P బై Q ఫారం.
ఇప్పుడు దాన్ని డివైడ్ లో రాస్తున్నారు.
కాబట్టి, మనం ఎప్పటికీ సున్నాతో విభజించలేము.
కాబట్టి, దిగువ సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ సున్నాగా ఉండాలి.
కాబట్టి, Q ఎప్పుడూ సున్నా కాకూడదు.
మరియు, P మరియు Q లు పూర్తి సంఖ్యలుగా ఉండాలి.
Q అనేది సంపూర్ణ సంఖ్య కావచ్చు లేదా P అనేది సంపూర్ణ సంఖ్య
కావచ్చు.
నిర్వచనం ఏమిటంటే, మనం Pని సంపూర్ణ సంఖ్యగా తీసుకుంటాము.
పాజిటివ్, నెగెటివ్ రెండూ..
ఒకవేళ ప్రతికూల సంకేతం ఉంటే దాన్ని అంకెల్లో తీసుకోవడానికి
ఇష్టపడతాం.
మరియు, Q అనేది ఒక సహజ సంఖ్య.
మేము పూర్తి సంఖ్యను చెప్పము.
ఒకవేళ అది సున్నా అయితే, అప్పుడు Q అనేది ఒక సహజ సంఖ్యగా
ఉండాలి.
మరియు, P అనేది సంపూర్ణ సంఖ్యగా ఉండాలి.
కాబట్టి, ఈ రూపంలో వచ్చే సంఖ్యలను రేషనల్ సంఖ్యలు అని
పిలువుగా పిలుపుతారు.
ఉదాహరణకు, 7 ద్వారా 5 కాదు. 7 కంటే కనీసం పక్కన ఉంది మరియు P
పూర్తి సంఖ్య కాదు. 5 కంటే కనీసం పక్కన ఉంది మరియు అది ఒక
ప్రాకృతిక సంఖ్య. కాబట్టి, 7 ద్వారా 5 ఒక హేతువాది సంఖ్య.
మేము 0 విభజనలో 1 రాయటం వలన 0 మీద మరియు దిగువన ఉండకూడదు,
కానీ P వైపు ఎగువన 0 ఉండవచ్చు. ఈ విధంగా రావడం కంటే
ప్రామాణికంగా ఉంటుంది.
మనకు P అనేది 0 గా ఉందనుకుందాం.
మనం ఏ సంఖ్యలోనైనా 0 యొక్క విభజనలో 1 అని రాస్తే, అప్పుడు
మనకు ఆ సంఖ్య మాత్రమే లభిస్తుంది.
0 అని మనం ఏమి రాయగలం? 0 బై 1.
కాబట్టి 0 బై 1 కూడా P బై Q రూపంలో ఉంటుంది.
కాబట్టి మాకు హేతుబద్ధమైన సంఖ్య లభించింది.
నెగెటివ్ గా రాయాలనుకుంటే మైనస్ 2 బై 7 అని రాయొచ్చు.
కాబట్టి ఇది కూడా హేతుబద్ధమైన సంఖ్య రూపంలో ఉంటుంది.
కాబట్టి ఈ భాగాలు, సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు,
అన్ని వర్గాలు హేతువుల సంఖ్యల రూపంలో ఉన్నాయి.
ఇప్పుడు ప్రధాన అంశం దశాంశానికి సంబంధించింది.
ఏ రకం డెకిమల్ హేతువులు ఉంటాయి మరియు ఏ రకం డెకిమల్ హేతువులు
లేదు అంటే రేషనల్ నంబర్ రూపంలో ఉండదు?
కాబట్టి ఇది దశాంశాల వర్గం.
కాబట్టి ఈ కేటగిరీ మరియు ఈ కేటగిరీ మాత్రమే, అనివార్యంగా
పునరావృత కేటగిరీ.
ఈ రెండు కేటగిరీలు మాత్రమే హేతువాదుల రూపంలో ఉంటాయి.
మిగిలిన కేటగిరీ నాన్ రిపీటింగ్.
ఇది హేతుబద్ధమైన సంఖ్యల రూపంలో ఉండదు.
ఇది హేతుబద్ధ సంఖ్యలకు విరుద్ధంగా ఉంటుంది.
హేతుబద్ధమైన సంఖ్యలకు విరుద్ధంగా ఏది ఉంటుంది? అహేతుక
సంఖ్యలు..
ఇంకా ఒక కేటగిరీ దశాంశాలు అహేతుకాల రూపంలో ఉంటాయి.
మీరు స్పష్టంగా చూడగలరని నేను ఆశిస్తున్నాను.
ఇక్కడ రాశాను.
కాబట్టి పునరావృతం కాని అహేతుకాలు.
మరియు సహజ సంఖ్యల నుండి ముగింపు లేని పునరావృత సంఖ్యల వరకు
అన్ని సంఖ్యలు హేతుబద్ధ సంఖ్యల రూపంలో ఉంటాయి.
ఈ వర్గం మాత్రమే అహేతుక సంఖ్యల రూపంలో ఉంటుంది.
కాబట్టి, హేతుబద్ధత తర్వాత, మీకు 7 లభిస్తుంది.
హేతుబద్ధత తరువాత, మీకు 7 లభిస్తుంది.
అహేతుక సంఖ్యలు..
కాబట్టి, మన హేతుబద్ధమైన కేటగిరీలో లేని అన్ని సంఖ్యలు, అంటే.
వాస్తవ సంఖ్యలు, ఇప్పటి వరకు మనం అధ్యయనం చేసిన అన్ని
సంఖ్యలు, అవి మన హేతుబద్ధమైన వర్గంలో లేకపోతే, అవి
స్వయంచాలకంగా అహేతుక వర్గంలో ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, మనకు
చతురస్రాలు ఉన్నాయి.
మనకు స్క్వేర్ రూట్ ఉంటే, పూర్తి స్క్వేర్ రూట్ 2 మాకు ఉంది,
కానీ 3 స్క్వేర్ రూట్ కాదు, అందువల్ల రూట్ 3, రూట్ 5 వంటి
సంఖ్యలు ఐరేషనల్ నంబర్ల లో కనిపిస్తాయి.
అనిర్వచనీయ వర్గంలో ఉన్న సంఖ్యలు, వాటిని మూలంలో ఉంటే, అవి
అహేతుక వర్గంలో ఉంటాయి.
ఇతర సంఖ్యలు ఏమిటి?
ఈ సంఖ్యలలో ఇతర కేటగిరీ ఏమిటి? మనకు ముగింపు లేని దశాంశాలు
ఉన్నట్లయితే, మరియు అంతం కాని దశాంశాలు ఏ కేటగిరీకి చెందినవి?
పునరావృతం కాని వర్గం.
కాబట్టి, అహేతుక కేటగిరీలో అలాంటి సంఖ్యలు ఉంటాయి.
ఉదాహరణకు, మాకు పై ఉంది.
పై అంటే ఏమిటి? 22 బై 7? 3.147 మొదలైనవి.
కాబట్టి, ఇది అంతం కాదు.
అది ఆగిపోలేదు.
దశాంశానంతరం అంకెలు పునరావృతం కావడం లేదు.
కాబట్టి, పై కూడా అహేతుకుల కోవలోకి వస్తుంది.
హేతుబద్ధత నుండి అహేతుకత వరకు ప్రతిదాన్ని మీరు అర్థం
చేసుకోగలరని నేను ఆశిస్తున్నాను.
పూర్తి సంఖ్యల నుండి ప్రైమ్ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, భాగాలు,
దశాంశ రూపాలు, హేతువులు మరియు అహేతువులు వర్గీకరణలో ఉన్నాయి.
ఇప్పుడు వీటన్నిటినీ కలిపితే అన్ని హేతుబద్ధమైన అంకెలు మనకు
ఉన్నాయి.
మనకు సహజ సంఖ్యలు, పూర్తి సంఖ్యలు, పూర్తి సంఖ్యలు, భాగాలు,
ముగింపు దశాంశాలు, ముగింపు లేని దశాంశాలు, దశాంశాలను
పునరావృతం చేయడం ఉన్నాయి.
ఇవన్నీ హేతుబద్ధమైన కేటగిరీలో ఉన్నాయి.
మిగిలిన సంఖ్యలు అహేతుక కేటగిరీలో ఉన్నాయి.
వీటన్నిటినీ కలిపి సంకలనం చేస్తే మనకేం దొరుకుతుంది?
మీరు కాపీలలో ఒక చిన్న రియల్ లైన్ తయారు చేసినప్పుడు, మీరు
నిజమైన లైన్ తయారు చేసేవారు.
మీరు ఇలాంటి లైన్ తయారు చేసేవారు.
మధ్యలో 0 అని రాసేవారు.
తరువాత 1, 2, 3, మొదలైనవి.
ఇక్కడ మైనస్ 1, మైనస్ 2, మైనస్ 3.
కాబట్టి, వీటన్నిటి సమాహారం, హేతువాదులు, అహేతుకాలు,
వీటన్నింటి సమాహారం ఇదే.
మరేమీ కాదు.
కాపీల్లో మీరు చేసిన చిన్న రియల్ లైన్ ఇది.
రియల్ లైన్.
మరి వీటన్నింటి సేకరణ ఎంత?
మాకు నిజమైన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
ఇవన్నీ మీ నిజమైన సంఖ్యలు.
ఇక్కడ వరకు పునశ్చరణ చేయండి.
దీని తరువాత, నేను తదుపరి తరగతిలో మీకు కంప్లెక్స్ సంఖ్యల
లేదా మాయా సంఖ్యల సంబంధంగా పాఠం పెడతాను.
క్లాసుల్లో ముందుకు వెళ్తుంటే..
దాని గురించి నేను మీకు చెబుతూనే ఉంటాను.
ఇప్పటి వరకు, మీ ఆందోళన ఏమిటి?
అసలు సంఖ్యల కేటగిరీల్లో ఏం వస్తుంది?
నేటి సంఖ్యా వ్యవస్థలో నేను ఉపయోగించిన అన్ని పదాలను మీరు
అర్థం చేసుకున్నారని నేను ఆశిస్తున్నాను.
మీరు ఉదాహరణలు అర్థం చేసుకుని ఉంటారు.
ఇప్పుడు, నేను నా వైపు నుండి మీకు హోంవర్క్
ఇవ్వాలనుకుంటున్నాను.
ఏదైనా ఒకటి లేదా రెండు ఉపవర్గాలకు 5-5 ఉదాహరణలు ఇవ్వడానికి
ప్రయత్నించండి.
అప్పుడు, ఈ సంఖ్య ఏ కేటగిరీలో ఉందో మీరు కనుగొంటారు.
ధన్యవాదాలు.
తర్వాతి ఉపన్యాసంలో కలుద్దాం.
మీరు ప్రతి స్నేహితుడికి రిఫర్ చేసినప్పుడు, మీరు డిస్కౌంట్లు
లేదా నగదు రివార్డులకు రీడీమ్ చేయగల పాయింట్లను సంపాదిస్తారు.
మీరు ఈ కోర్సు పూర్తి చేసిన తర్వాత ఉద్యోగ ఖచ్చితత కూడా
పొందవచ్చు.
నన్ను లెక్కించండి. నా క్లాస్ మేట్స్ అందరికీ ఈ విషయం
తెలిసేలా చూసుకుంటాను.